5 de abr de 2009

O Problema dos Quadrados Mágicos

O problema da construção de Quadrados Mágicos é conhecida desde a antiguidade. Trata-se de construir uma tabela quadrada e preenche-la com números naturais sequenciados, de modo que as somas de suas linhas, colunas e diagonais principais sejam constantes. Desse modo, um quadrado de ordem n, são inseridos os n2 primeiros números naturais, sendo a somas desses números:

clip_image002[4]

A solução a ser encontrada em cada fileira, a Soma Mágica, será dada por:

clip_image002

É possível a construção de Quadrados Mágicos para qualquer n, exceto n = 2. Para n = 3 admite-se somente uma solução (desprezando inversões e rotações). Para n = 4 admite-se 880 possibilidades. E esse número cresce rapidamente nas ordens seguintes.

A ciência dos Quadrados Mágicos evoluiu de estudos nos séculos IX e X até a época de ouro do século XII, quando ela atingiu seu apogeu no Islã.

Abul Wafa Al-Buzjani (século X) desenvolveu dois métodos para construção de Quadrados Mágicos de ordem 5.

Primeiro método

Dispomos os n2 primeiros números naturais, para n = 5. Então a soma dos números 1+2+3+…+25 = 325 e a solução a ser encontrada será:

clip_image002[6]

Mantemos os números das diagonais principais fixos, mostrados em vermelho na figura a:

Quadrado Mágico a

Trocamos os números do quadrado interior de ordem 3, contornado em verde, com os da casa distante de duas casas na diagonal, como mostra a figura b. As flechas em vermelho mostram os números a serem trocados:

Quadrado Mágico b

Trocamos, finalmente, os números das extremidades que ainda não foram trocados com aqueles da fileira oposta, conservando sua ordem de sucessão. As flechas em violeta mostram os números a serem trocados, como mostra a figura c:

Quadrado Mágico c

Desse modo, a soma de cada linha, coluna e diagonais será igual a 65.

Segundo método:

Dispomos os n2 primeiros números naturais, para n = 5. Mantemos os números das diagonais principais fixos, mostrados em vermelho na figura a:

Quadrado Mágico a

Invertemos os pares de números aproximando a diagonal descendente. As setas em laranja mostram os números a serem trocados, como mostra a figura d:

Quadrado Mágico d

Trocamos os números restantes das bordas com as laterais opostas. As flechas em azul mostram os números a serem trocados, como mostra a figura e:

Quadrado Mágico e

Desse modo, a soma de cada linha, coluna e diagonais será igual a 65. E o resultado obtido é diferente do encontrado na figura c pelo primeiro método.

Referências

[1] Scientific American – Ed. Especial nº 11 - Etnomatemática


Veja mais:

Quadrados Mágicos de Ordem Ímpar (Parte 1) no blog Matemágicas e Números
Quadrados Mágicos de Ordem Ímpar (Parte 2) no blog Matemágicas e Números
O Quadrado Mágico da Besta no blog Fatos Matemáticos


3 comentários:

  1. Muito bom

    Sou fã dos quadrados mágicos, tenho uma pequena pergunta para você.

    Aonde posso encontrar resoluções de quadrados pares

    6x6
    8x8
    etc

    matemacere@yahoo.com.br

    ResponderExcluir
  2. Olá Amigo,
    Este método retirei de uma revista Scientific American Edição Especial nº11 Etnomatemática. Ainda tem mais sobre quadrados mágicos de ordem ímpar e de ordem par. Vou escanear as imagens e faço um novo post.
    Achei uns links :

    http://mathsforeurope.digibel.be/magic.htm

    http://wba.novaloka.nl/magic-squares.html

    PDF
    http://www.math.binghamton.edu/zaslav/386.F09/delucchi.magic-squares.pdf

    http://home.earthlink.net/~morgenstern/magic/make8.htm

    http://www.win.tue.nl/~aeb/games/bf_magic.html

    http://www.google.com.br/url?q=http://docs.google.com/gview%3Fa%3Dv%26q%3Dcache:lgfNC3QJMqYJ:www.tttpress.com/pdf/Ultimate-Magic-Square.pdf%2Bconstruction%2Bmagic%2Bsquare%26hl%3Dpt-BR%26gl%3Dbr%26pid%3Dbl%26srcid%3DADGEESjvu-bzquU97uI5rrvW3fxhp3x1FxjE3Kn0UQwF2fw-KI3bPzpLv8hTmW39CBzQ9E4m4ddaNrsEgdTMXdVZxcCt0O94TNp4Uj8VPQ1rNecDEz6V_-Ta7ztmqICT4Tv9c2eB4JOg%26sig%3DAFQjCNGDxBTTujLP0U85nKsUlfnYt6nBKA&ei=U3UES7H5JMqTnQfphOlr&sa=X&oi=gview&resnum=30&ct=other&ved=0CEkQxQEwCTgU&usg=AFQjCNGwW7Ln9Xm1MPooWt097xRmCmns-Q

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. obrigado foi a cola de um trabalho

    ResponderExcluir

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