27 de mar de 2012

A Descoberta de Outros Planetas e a Lei de Titius-Bode

O movimento de um planeta, além de se mover sob a ação da atração gravitacional do Sol, também é afetado pelas forças de atração exercidas pelos demais planetas, além de seus satélites, se os tiver, que perturbam as órbitas elípticas keplerianas.

Pelo fato da massa do Sol ser muitíssimo maior do que a massa de qualquer planeta, as perturbações causadas pelos planetas são muito pequenas. O planeta mais pesado, Júpiter, tem menos de um centésimo da massa do Sol. No entanto, tiveram que ser levadas em consideração conforme aumentava a necessidade de observações mais precisas.

Planetas

Uma solução exata do problema do movimento de mais de dois corpos em interação gravitacional uns com os outros é extremamente difícil. Mesmo no caso de apenas três planetas, o problema só pode ser resolvido em casos especiais extremamente restritivos. Mas soluções aproximadas são possíveis, devido ao fato de que as perturbações exercidas pelos demais planetas são muito menores do que a força atrativa do Sol, podendo ser desenvolvidas de forma sistemática constituindo o objeto do cálculo das perturbações. Este complicado problema de mecânica celeste foi tratado durante a segunda metade do século XVIII e a primeira metade do século XIX por Euler. Lagrange e Laplace. Os resultados foram um sucesso, particularmente a explicação de Laplace sobre as irregularidades observadas nos movimentos de Júpiter e Saturno.

Na noite de 13 de Março de 1781, William Herschel, músico de profissão e astrônomo amador, descobriu com seu telescópio um objeto que obviamente não era uma estrela, pois  seu diâmetro aparentemente aumentava incrementando o aumento do telescópio. Pensou a princípio que se tratasse de um cometa, mas cerca de um ano mais tarde se havia tornado claro que se tratava de um novo planeta, o primeiro descoberto desde a antiguidade. A descoberta teve grande impacto. O novo planeta, que foi chamado de Urano, tem uma órbita de raio médio igual a 19,2 U.A., aproximadamente o dobro do de Saturno. Verificou-se depois que já havia aparecido em observações bem anteriores (desde 1690), embora não reconhecido como planeta.

Entretanto, as novas observações que foram sendo feitas, juntamente com as anteriores, levavam a desvios da órbita predita pelas leis de Newton. Essas irregularidades e desvios sistemáticos, embora pequenos (da ordem de 20° de arco, em média), não podiam ser explicadas por perturbações devidas aos demais planetas conhecidos.

Tamanho era o grau de confiança nas leis de Newton, nessa época, que em 1820, Bessel já sugeriu que os desvios talvez fossem devidos a um novo planeta ainda não descoberto, mas distante que Urano.

Entretanto, para provar um tal resultado e determinar os elementos da órbita do novo planeta, era preciso resolver um problema matemático muito mais difícil do que o tratado por Lagrange e Laplace, o problema inverso de perturbações.

O primeiro a obter uma solução foi John Couch Adams, jovem matemático de Cambridge recém-formado, em Setembro de 1845. Comunicou seus resultados a John Challis, diretor do observatório de Cambridge, e ao astrônomo Real, George Airy, prevendo a posição do novo planeta em 1/101845 (com erro de < 2° nessa data). Entretanto, Airy não ficou convencido pelos resultados e houve uma série de quiproquós, em consequência da qual nenhuma tentativa de observação foi feita.

Enquanto isso, em Paris, Le Verrier, um astrônomo de reputação já estabelecida, começou a se interessar pelo problema e publicou, em Junho de 1846, um trabalho contendo conclusões semelhante às de Adams, no entanto, menos precisas. Airy recomendou então a Challis que procurasse o planeta hipotético no observatório de Cambridge. Challis fez observações nas noites de 29/7, 30/7, 4/8 e 12/8, mas só efetuou uma comparação parcial entre os resultados de 30/7 e 12/8, parando na estrela nº39. Se tivesse ido mais adiante, teria percebido que “uma estrela de 8ª grandeza”, observada em 12/8, não aparecia nos dados de 30/7 e teria descoberto o novo planeta. Mas não o fez.

Em 31/8, Le Verrier publicou outro trabalho e escreveu a Galle, astrônomo do observatório de Berlim, sugerindo que procurasse o planeta. Galle descobriu-o, a cerca de 1° da posição predita, na mesma noite em que recebeu a carta, a 23/9/1846. Verificou-se depois que o planeta já havia sido registrado em observações feitas por Lalandre no observatório em Paris 50 anos antes, mas sem que ele percebesse não se tratar de uma estrela.

A predição da existência de Netuno foi um dos grandes triunfos da história da ciência e foi aclamada como tal. Entretanto, além da “dedução pura”, interveio também um forte elemento de sorte. Com efeito, tanto Adams como Le Verrier usaram em seus cálculos uma hipótese que se revelou a posteriori injustificada, a lei de Bode, descoberta por Titius, mas publicada por Bode em 1772. Segundo essa lei, o raio médio da órbita do n-ésimo planeta (n = 1, 2, 3, …), em U.A., seria dado, para n > 2, por:

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Vejam abaixo uma comparação entre os resultados obtidos pela fórmula dada acima com os valores observados.

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Quando Bode publicou sua regra empírica, Urano ainda não havia sido descoberto, e sua descoberta 9 anos depois estava em muito bom acordo com a lei. Nenhum planeta havia sido observado na posição nº 5 da série, mas em 1801 Piazzi descobriu o planetóide Ceres, parte da faixa de cerca de 2.000 asteróides existentes entre Marte e Júpiter, supostamente resultantes da fragmentação de um planeta.

Assim, o valor de 38,8 U.A. usado por Adams e Le Verrier para o raio da órbita de Netuno estava de mais de 20% em relação ao valor real. Por coincidência, em 1846, Netuno estava na única parte de sua órbita para a qual esse erro não tinha grande importância, mas 75 anos antes ou depois ele teria invalidado totalmente os resultados.

Em 1930, C. Tombaugh descobriu Plutão, com base em irregularidades observadas na órbita de Netuno. O desvio em relação à lei de Titius-Bode é ainda maior. Até hoje não se sabe se o bom acordo com a lei de Bode até Urano tem alguma explicação ou se se trata de mera coincidência. Os raios das órbitas dos planetas, que Kepler também havia querido deduzir, dependem das condições de sua formação, e talvez estejam ligados ao problema matemático extremamente difícil e ainda não resolvido da estabilidade do Sistema Solar.

Referências:

[1] Física Básica V1 – Moysés H. Nussenzveig
Vejam um pouco mais sobre a Lei de Titius-Bode nas páginas abaixo:
[2] http://amatematicaandaporai.blogspot.com.br/2009/03/johann-elert-bode-lei-de-bode.html
[3] http://www.mat.uc.pt/~helios/Mestre/H34bode.htm


Veja mais:

Os Satélites de Júpiter a a Velocidade da Luz
A Gravitação Universal Além do Sistema Solar
A Ressonância de Laplace no blog Infravermelho
http://noveplanetas.astronomia.web.st/nineplanets.html

19 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Descobrir planetas é realmente um trabalho exaustivo de observação e cálculo se apoiando em ferramentas matemáticas, conceitos físicos e dados astronômicos. Deve ser emocionante! Gostei da postagem, parabéns!!

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  2. Oi Aloísio,

    Os astrônomos antigos somente conseguiram alcançar êxito em suas pesquisas porque eram excelentes matemáticos, como Kepler, por exemplo.

    A histórias das ciências é algo que me fascina. Só de ler essa história sobre a descoberta de planetas já me emociona profundamente; quero um dia poder visualizar alguns deles com um telescópio. Quem sabe um dia desses...

    Corrigi a falha na digitação. Obrigado.

    Um abraço!

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  3. Na escola eu gostava de ler aquela coleção da Biblioteca Científica LIFE, e tinha dois em particular, "O UNIVERSO" e "OS PLANETAS" que estavam entre meus favoritos. Isto era na década de 80. A pouco anos conseguir achar, em um sebo, "AS MATEMÀTICAS", da mesma coleção e o "O UNIVERSO". O bom dessa coleção são as matérias atraentes e as belíssimas fotografias.

    Eu tinha, em um caderno que perdi, os cálculos da gravidade do nosso planeta, se ele fosse feito integralmente de 1) água 2) madeira 3) Cobre 4) Ferro 6) Ouro 7) Diamante, etc. Eu me divertia com estes resultados.Isto seria um tema bom para um post, não? E qual seria a gravidade de uma bola de futebol, de uma determinada espessura homogênea e raio igual ao do nosso planeta? Isto seria um bom tema para um post não? Fica aí a sugestão.

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  4. Kleber:
    A Lei de Bode é mais um exemplo de como um modelo pode parecer perfeito durante anos, e então se mostrar incorreto a partir de um único exemplo.
    Um cientista propõe um modelo matemático, no caso de Bode, até com uma fórmula, e este modelo permanece válido até que se constate o contrário, através de observações que não batem com o previsto pela lei. E aí a ciência é implacável. Se o modelo não serve para um único caso, mesmo tendo servido para muitos outros, então deve ser descartado. Exemplo?
    Geocentrismo: O sistema geocêntrico de Ptolomeu funcionava muito bem para fazer previsões das posições dos planetas no céu, senão não teria sido aceito durante tanto tempo. O fato é que era matematicamente bem mais complicado do que o de Copérnico. Neste caso, foi necessário que o modelo geocêntrico fosse descartado, pois não havia mais como reformulá-lo, ainda mais a partir das novas observações de Galileu.

    Notável neste exemplo do post, foi a previsão da Lei de Bode, para a posição 5 na série, correspondente a Ceres. Foi então uma coincidência incrível? É duro acreditar, mas porque então o grande erro cometido no caso de Plutão. Sei lá... Não seria o caso de se colocar apenas uma restrição à lei de Bode para corpos muito distantes do Sol? Sim, Porque ela é bem aproximada para os outros. Acho que deve ter ocorrido o seguinte: Ele, Bode, a partir das posições conhecidas, adaptou uma função que se encaixava ao conhecido de então. Mesmo assim, o caso de Ceres é muito intrigante mesmo.
    Belo apanhado da questão das descobertas. Eu também "viajo" nestas histórias, tentando entender o que estes pensadores imaginavam, e também o receio que eles deviam ter de que se não houvesse uma certa harmonia entre os astros, isto poderia significar um perigo pra nós, por exemplo, se um destes planetas estivessem buscando sua harmonia, mas com isso se dirigindo em nossa direção.
    Mais uma vez, gracias ao link. Laplace tambem foi "o cara".
    Abraço

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    1. Jairo, hoje, mais de 3 anos depois da sua postagem, fiz uma breve pesquisa na internet, por curiosidade sobre a Lei de Bode, e encontrei seu comentário. É plausível o que você diz, existem mesmo certas equações que descrevem fenômenos naturais e que são válidas dentro de um certo intervalo. Assim é que alguns exames de sangue, por exemplo, mostram resultado acima ou abaixo de determinado valor (o limite da escala), sem contudo precisar o valor exato da amostra.

      Assim, é perfeitamente aceitável que a Lei de Bode tenha fundamento até determinado limite de distância do Sol. Note que entre os 9 primeiros "planetas", incluindo Ceres, os maiores erros estão nos extremos: Mercúrio e Netuno (para Mercúrio, calcular pela equação pois a tabela está errada).

      Mas tem um outro fator que temos que levar em conta: se essa lei tem fundamento, deve estar restrita ao plano da Eclíptica, fora do qual a seqüência das órbitas (em que Mercúrio é o primeiro planeta, Vênus o segundo, etc) perde o sentido. Afinal, como dito no artigo do Kleber, o fundamento é a interação gravitacional entre cada planeta e o Sol, e também dos planetas entre si. Ora, os planetas anões Plutão, Éris, Makemake, etc, todos têm órbitas muito mais inclinadas, em relação à Eclíptica, do que os 9 primeiros, portanto parecem fora do conjunto de dados ao qual se refere a lei. Esse fato, além da grande distância como você bem observou, tira dos planetas anões o condão de invalidar a Lei de Bode.

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  5. Oi Kleber! Você percebeu que o cálculo de Rn para n=1 não dá 0,4 ? Sempre achei que a fórmula era essa, só percebi agora que falha para n=1. Quando eu era pequeno na minha casa havia 4 ou 5 livros, um era Arithmetica Progressiva o outro era Elementos de Cosmographia e Geographia Geral numa edição de 1922, Lá contava essa história do Le Verrier e contava também que Le Verrier acreditava também na existência de um planeta mais próximo do Sol que Mercúrio e que já o tinha batizado de Vulcano o qual provocava irregularidades na órbita de Mercúrio. Essas irregularidades, dizem, foram explicadas pela Teoria da Relatividade. Por isso dizem que Le Verrier testemunhou o sucesso e o fracasso da Física Clássica. Um ótimo assunto parabéns. Abrçs

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  6. Aloísio

    Encontrei estes livros que indicou no site "Estante Virtual". Tem volumes de apenas 5 Reais. Vale a pena conferir.

    Quanto à sua sugestão, é interessante e daria uma bela postagem. Vou ver o que consigo.

    Um abraço!

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  7. Jairo

    Titius e Bode não conheciam todos os planetas. Acho que foi uma fórmula empirica que acabou valendo até para Ceres (coincidência?). Eu não sei detalhes de como chegou a esta fórmula, mas deve ter sido algum tipo de interpolação. Eu tive uma ideia que vou tentar desenvolver: fazer uma interpolação polinomial de grau 6, já que se conhecia 7 planetas (excluindo a posição de Ceres). A tentativa é de chegar a um polinômio de grau igual ou menor a 6 que relacione os valores de n e os valores observados. Com isso, podemos aplicar valores de n=5,9,10 e ver o que acontece.

    Como disse o Tavano, para n=1 a fórmula falha. Não tinha me atentado a isso. É estranho não?

    Acredito que tudo é aceito enquanto for válido. Com a evolução do conhecimento e as descobertas científicam, vem novas teorias que levam por água a baixo teorias mau-fundamentadas, que foi o caso da lei de Bode, que parece ser empírica mesmo.

    Já ouviu falar sobre a teoria do planeta Hercolubus (Bernard I)? Talvez seja puro misticismo.

    Um abraço

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    1. Pelo que eu sei, esta história de planeta Hercólubus é misticismo mesmo. Pelo menos em bons sites de Astronomia eles nem mencionaram nada sobre a existência deste provável e hipotético planeta. Deve ser mais uma invenção para render um dinheirinho extra para alguma editora. Eu me lembro que há uns 3 anos, eu vi este nome pintado em um muro de Piracicaba,fazendo propaganda de um livro. Parece que dizia assim (O muro foi demolido para a construção de um prédio):

      Hercólubus!
      O que é?
      Porque as pessoas não falam nada?
      E aí no fim...Compre o livro e descubra!

      Típica pegadinha pra chamar a atenção...
      Mesmo assim vou procurar saber aqui na internet... e lógico, não vou na livraria comprar o livro. Me pareceu muito suspeito.

      Abraço

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    2. Também acredito que seja apenas misticismo, pelo que li. Há um tempo atrás eu estava tentando fazer viagem astral consciente. Não consegui, mas havia umas comunidades no orkut que tratavam do assunto e lendo alguns depoimentos, me deparei com "uma pessoa" (ou um grupo) que se denominava "venerável mestre rafael". O título que deu a si mesmo é bem prepotente e foi dessa pessoa que recebi um livreto falando da existência desse tal planeta onde há uma população em decadência assim como os terrestres. E dizia ainda que estva em trajetória de "colisão" com a Terra. Pelo fato de ser tantas vezes maior que Júpiter, isso causaria a extinção nossa. Então seria a "época de se salvar"... Cada uma não? Mas como toda a leitura, há pontos interessantes, não científicos, mas os que tratam sobre o quanto devemos ser generosos e amar ao próximo. Podemos ler de tudo, mas tomamos como verdade aquilo que quisermos aceitar.

      Abraços.

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    3. Kleber:
      Eu só acho que estas pessoas não precisariam inventar estas coisas, na tentativa de amedrontar-nos, com o intuito de convencer-nos de que devemos ser generosos e amar uns aos outros. Fica parecendo com aquelas mães que querem encontrar uma maneira fácil de fazer com que seus fihos, ainda bebês, não façam coisas erradas.
      - Seja bonzinho, senão o bicho papão vem te pegar.
      - Não chore, senão o "homem do saco" vem te buscar.
      E o que acontece: Mais cedo ou mais tarde, as crianças descobrem que foram enganadas pelos próprios pais. Mas foi por uma boa causa, alguns diriam: Para proteger os pequeninos. Eu sei que é difícil não usarmos estes truques com os filhos. Eu mesmo já acabei apelando pra isso, apesar de já ter lido alguns textos de psicólogos que condenam esta prática.

      Você sabe o que eu penso, por exemplo, sobre religiões. Eu fui obrigado pelo meu pai a seguir a religião católica. Com o tempo, percebi que algumas coisas não faziam muito sentido pra mim, dentro daquela instituição. Estou tentando criar minha filha, mostrando pra ela que não precisamos ser honestos, generosos, e tudo mais, sob pena de sermos julgados após a morte por um todo poderoso, que escolherá se o nosso destino na eternidade será o céu ou o inferno. Eu penso que a gente deve ser bom e justo para que o mundo em que vivemos se torne melhor, com pessoas que reflitam aquilo que praticamos, e não por esperarmos uma recompensa por isso. Eu tento mostrar isso à minha filha através da prática, e sinceramente não sei até que ponto isso irá funcionar, pois ela compara com outras amiguinhas que seguem religiões dos pais, o que eu acho muito bom, quero deixar bem claro. Não sei o que é melhor, para ser sincero. Só vou descobrir com o tempo. Espero não estar equivocado, mas penso que seria muito pior se eu pregasse uma coisa, e ela visse que eu pratico o contrário.

      Vou parar por aqui, porque já estamos fugindo muito do assunto do post, e você pode estar pensando:
      Lá vem o Jairo de novo com esse papo de religião, mas sei que você me compreende, pelo que já trocamos de ideias nestes nossos comentários "bumerangues", como diria o Valdir, aqui no BARICENTRO e no INFRAVERMELHO.

      Abraço, amigo.

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    4. Olá Jairo,
      Infelizmente alguns se aproveitam da boa vontade das pessoas. Podemos ver isso em praticamente todas as religões. É um absurdo explorarem a fé das pessoas, mas parte do problema também é daqueles que aceitam esse tipo de exploração. Será que são hipnotizadas? Quem sabe...

      Jairo, não importa para que lado a conversa se desvie. Alguns não permitem isso em seus blogs; eu já não vejo problema algum. É saudável essa troca que permite que nós todos possamos expor nossas ideias sobre forma de ver o mundo. Senti a falta do Valdir aqui para debater, mas acho que ele está muito ocupado.

      Não acho que esteja errado com suas atitudes em educar sua filha. Afinal, ver o mundo como ele é, é melhor do que ser enganado por palavras sem sentido, assim ela pode tomar as decisões mais acertadamente.

      Eu e minha esposa não batizamos nossa filha. Assim ela decidirá se quer ou não e onde fará, se fará. Ela tem 3 anos agora e esperamos poder educá-la de modo a ela poder tomar suas decisões.

      Desculpe pela demora em responder, estive muito ocupado, muitas coisas a fazer e ler.

      Um abraço!

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  8. Tavano

    Obrigado pelos elogios. Essa é um fato muito interessante da história da astrofísica. Como a falta de conhecimento levaram à hipóteses, porque não interessantes? que só vieram se verificar muito tempo depois na era Einstein. O espírito do cientista é esse mesmo: levantar hipóteses e tentar prová-las. Às vezes dá certo, mas quantas não dão errado? É incrível a capacidade do homem em busca de métodos para resolver problemas. Essa lei de Bode serviu por muito tempo como referência, até que deu errado. Mas isso não tira o brilho do método, já que a partir dela, foi possível prever a aparição de um novo planeta. Realmente notável.

    Como disse ao Jairo, também não havia notado que para n=1, falha. O que será que está errado? Vou tentar fazer a interpolação que falei acima e comparar os valores da tabela.

    Obrigado e um abraço.

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  9. Oi Kleber! A lei de Bode que li nos Elementos de Cosmographia, funcionava assim: Tome a sequencia 0; 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192; 384; 768. some 4 em cada um dos elementos da sequencia e depois divida por 10. A sequencia acima é aparentemente uma PG de razão 2, mas para ser uma PG o primeiro termo tinha que ser 1,5 e não Zero por isso o cálculo com a fórmula falha. Abçs

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  10. Olá Tavano,
    Que interessante essa formação. Mas como disse, o primeiro termo deveria ser 1,5. E mesmo assim falha no últimos termos. O que será que o fez supor o primeiro termo = 0? Tá certo que a natureza encontramos padrões interessantíssimos e até mesmo simples, mas este aí seria uma coincidência e tanto!

    Só para efeito de testes, fiz uma interpolação utilizando apenas 3 pontos (n = 2, 3, 4) para verificar a eficácia. Até n = 5 os valores batem, e talvez para valores intermediários também seriam válidos, mas ficam cada vez menores quando n aumenta. Esse modelo quadrático que fiz não é adequado para esta lei de formação. Temos que tomar pelo menos 6 pontos, já que eram os conhecidos. Isso requererá um pouco mais de tempo e assim que o tiver vou fazer.

    Abraços.

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  11. Oi Kleber! Os anéis de Saturno têm falhas, li certa vez que se houvesse uma "pedrinha" orbitando numa dessas falhas ela não se sustentaria por muito tempo pois essa pedrinha se alinharia com um satélite próximo sempre no mesmo ponto da órbita. Cada falha dos anéis seria resultado disso. Será que no sistema solar também existem essas falhas? Determinadas por Júpiter e/ou Saturno? E, com isso, os planetas só encontrariam órbitas estáveis nas distâncias dadas pela lei de Bode? Abçs

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  12. Olá Tavano,

    Andei lendo um pouco sobre os anéis de Saturno e suas falhas. Parece que são causadas por suas luas. Mas a Lei de Bode não falha para n>8? Pode ser que todo o conjunto de planetas estejam em harmonia e orbitam em sua zona de conforto.

    De certa forma, podemos comparar o sistema solar com Saturno e seus anéis, assim como Júpiter e suas luas. É uma boa analogia.

    Tem muita coisa na internet, fica até difícil fazer uma boa seleção de matérias.

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    1. Esqueci de mencionar: você conhece o programa Celestia? É um simulador do sistema solar muito interessante. Se puder dê uma pesquisada sobre. Abraços.

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  13. Quando estava no ginásio eu fiquei intrigado com a semelhança da massividade dos planetas do meio do sistema solar. Eu comparava com a eletrosfera, que tinha uma quantidade maior de elétrons de modo semelhante nos orbitais do meio: 2,8,18,32,32,18 etc.

    E antes disso eu tinha visto um desenho bem antigo do Quarteto Fantástico em que eles são encolhidos a um tamanho sub-atômico e entram no interior de um átomo e qual a surpresa de que lá existia uma civilização sub femto-(ou atto)-scópica. Viagem ... :)

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