20 de set de 2012

Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes

Descartes, no livro $I$ de sua obra La Géométrie, se preocupou com problemas geométricos onde a equação final só pode conter uma quantidade desconhecida. Ele observou que era o grau dessa equação algébrica resultante que determinava os instrumentos geométricos pelo qual a construção pedida podia ser realizada.



Descartes desenvolveu um método para resolver equações quadráticas, não no sentido algébrico como os antigos babilônios faziam, mas no sentido geométrico. Seu método permitia resolver equações do tipo:
\begin{equation*}
x^2 \pm bx-c^2=0
\end{equation*}
Por exemplo, para resolver uma equação do tipo $x^2 \pm bx – c^2 = 0$, Descartes procedia assim:

$1)$ Trace um segmento $AB$ de comprimento igual a $c$;

$2)$ Por $B$, levante um segmento $BO$ igual a $b/2$ que seja perpendicular a $AB$;

$3)$ Com centro em $O$, descreva uma circunferência que passe por $B$ e trace a reta que passa por $A$ e $O$ que corta a circunferência em $C$ e $D$;

$4)$ Se:

     $a)$ $b$ for positivo, então o segmento $AC = x$ é o segmento desejado;
     $b)$ $b$ for negativo, então o segmento $AD = x$ é o segmento desejado.

No entanto, Descartes ignorava a raiz $AD$ da equação para o caso de $b$ ser positivo, pois dizia ser falsa, ou seja, negativa. Assim o segmento $AD$ fornece a segunda raiz da equação, onde o segmento $AD$ é o valor absoluto da raiz negativa, pois não faz sentido na geometria euclidiana um segmento de reta de comprimento negativo. O mesmo ocorria para o caso de $b$ ser negativo.

Vamos abordar algumas equações e aplicar seu método, utilizando o software Régua e Compasso (gratuito), que já nos fornece o comprimento dos segmentos automaticamente.

Exemplo $1$:

Encontre as raízes da equação $x^2-3x-4=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2 -3x - (2)^2 = 0$. Em seguida, definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento inicial $AB=c=2$
$b)$ O segmento $BO=b/2=1,5$

$1)$ Trace o segmento $AB=2$:



$2)$ Trace a perpendicular $BO=1,5$ por $B$:



$3)$ Descreva a circunferência de raio igual a $b/2=1,5$ com centro em $O$:



$4)$ Trace a reta que passa por $A$ e $O$, cortando a circunferência nos pontos $C$ e $D$:



$5)$ Os segmentos $AC$ e $AD$ são as duas raízes da equação dada, como pode ser observado nas imagens:



Desta forma, temos as duas raízes representadas como dois segmentos de reta. Notem que o segmento $AD$ fornece o valor absoluto da raiz negativa. Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 4\\
\ \\
x_2 = AD = -1
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontre as raízes da equação $x^2-x-4=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2-x-(2)^2=0$. Agora, definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento  inicial $AB=c=2$
$b)$ O segmento $BO=b/2=0,5$



Resolvendo pela fórmula da equação do segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 2,56155\\
\ \\
x_2 = AD = -1,56155
\end{equation*}

Exemplo $3$:

Encontre as raízes da equação $x^2-8x-9=0$, utilizando o método geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2-8x-(3)^2=0$. Agora, definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento inicial $AB=c=3$
$b)$ O segmento $BO-b/2=4$



Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as duas raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = 9\\
\ \\
x_2=AD=-1
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Encontre as raízes da equação $x^2+2x-1=0$, utilizando geométrico de Descartes.

A equação pode ser reescrita como $x^2+2x-(1)^2=0$. Vejam que esta equação tem o $b$ positivo. Definimos os comprimentos dos segmentos:

$a)$ O segmento inicial $AB=c=1$
$b)$ O segmento $BO=b/2=1$



Resolvendo pela fórmula da equação de segundo grau, encontramos as raízes:
\begin{equation*}
x_1 = AC = -2,41421\\
\ \\
x_2 = AD = 0,41421
\end{equation*}

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer - Editora Blucher

Veja mais:

O Refinamento de Snell
De Onde Vieram os Símbolos?
Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo com Régua e Compasso

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7 comentários:

  1. Sempre fui fascinado por este assunto. Publiquei dois posts sobre esta técnica e este post veio para enriquecer mais a resolução de equações quadráticas através de régua e compasso. Veja os links

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/12/descartes-e-equacao-quadratica.html

    e

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/11/resolvendo-quadratica-atraves-do.html

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Permissão negada para ver o blog? É brincadeira?

      Excluir
    2. Everaldo, o blog Fatos Matemático está fechado já há mais de 1 ano. O problema foi que usava um script para renderizar as fórmulas escritas em Latex. Esse script foi descontinuado e agora todas as equações perderam formatação. Não adianta colocar outro script. Teria que reescrever todas as postagens. Não sei dizer se o Prof. Paulo está trabalhando nisso, mas por enquanto continuará assim.

      Excluir
  2. Olá Paulo,

    Realemnte é fascinante e assusta pela simplicidade. Como Descarte mesmo diz: "o grau dessa equação algébrica resultante que determinava os instrumentos geométricos pelo qual a construção pedida podia ser realizada". Ele deve ter gasto um bom tempo para encontrar esses métodos. Dedicação.

    Inclui os links que passou. Não tinha pesquisado no Fatos Matemáticos, por isso não inclui antes.

    Obrigado pelo comentário e um abraço!

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  3. Oi, Kleber!

    Realmente é bem interessante estes métodos geométricos para resolução de equações algébricas.

    Conhece algum para equações transcedentes? Ou outros que resolvam uma equação de grau >4?

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  4. Olá, Kleber!
    vc tem algum material sobre a equação do quarto grau?

    ResponderExcluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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