07/10/2012

Ângulo de Segmento ou Ângulo Semi-inscrito

Definição: Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência, um dos lados é uma secante e o outro lado é tangente à circunferência.

image

Considerando a figura acima, temos que:

1) clip_image004 é o ângulo de segmento;

2) clip_image006é o arco subtendido;

3) clip_image008 é o ângulo central correspondente ao ângulo semi-inscrito α.

O nome ângulo de segmento vem do segmento circular clip_image010 definido pelo ângulo central β.

Teorema: Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente.

Para este teorema, temos três casos: o ângulo de segmento pode ser agudo, reto ou obtuso.

Demonstrações:

1º Caso: O ângulo de segmento á agudo.

image

Considere o triângulo isósceles OAB na figura acima. Vamos determinar o ângulo Â. Temos que:

clip_image014

clip_image002

clip_image004[4]

clip_image006[4]

Sendo a reta t tangente à circunferência em A, temos:

clip_image002[4]

clip_image004[6]

Substituindo (2) em (1), obtemos:

clip_image026

clip_image028

2º Caso: O ângulo de segmento á reto.

image

Como o segmento clip_image032 é o diâmetro da circunferência, o ângulo β = 180°, a tangente t é ortogonal em A e α = 90°. Assim:

clip_image034

3º Caso: O ângulo de segmento á obtuso.

image

Aplicando o 1º caso no ângulo α', que é o adjacente suplementar do ângulo α, obtemos:

clip_image038

Por outro lado, β + β' = 360°, logo:

clip_image040

Substituindo (6) em (5), obtemos:

clip_image042

Como α + α' = 180°, temos:

clip_image044

Substituindo (7) em (8), obtemos:

clip_image046

clip_image048

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo – Atual Editora


Veja mais:

O Teorema de Stewart
O Teorema do Ângulo Inscrito
O Teorema da Base Média de um Triângulo

3 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Muito elucidativo o artigo. Parabéns!

    Um abraço

    ResponderExcluir
  2. Obrigado Aloísio. Um grande abraço!

    ResponderExcluir
  3. Muito bom!!!

    ResponderExcluir

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