22 de dez de 2012

A Quadratura do Retângulo

Os gregos antigos, desde a época de Arquimedes, calculavam áreas de polígonos por meio de comparação com a área de um quadrado conhecido. Essas construções eram realizadas por compasso e régua não-graduada. Esses tipos de problemas eram conhecidos como quadratura.

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Para construir um quadrado cuja área seja igual a um retângulo dado, conhecidos seus lados, procedemos como se segue:

1) Seja o retângulo ABCD. Com centro em D descreva uma circunferência de raio CD.

2) Prolongue o segmento AD cortando o círculo em N.

3) Encontre o ponto médio do segmento AN e marque como M.

4) Com centro em M, descreva uma circunferência de raio AM.

5) Trace a perpendicular a AM por D e marque o ponto E na circunferência maior.

6) Construa um quadrado sobre o segmento DE. Este quadrado terá a mesma área do retângulo ABCD.

Demonstração:

A área do retângulo é dada por:

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Da figura, temos:

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e

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Assim:

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Do triângulo retângulo MDE, temos que:

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Mas ME = AM, logo:

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Como a área do quadrado DEFG é dada por DE2, fica demonstrado que sua área é igual a área do retângulo:

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Veja mais:

A Quadratura do Triângulo
A Quadratura do Círculo pelo Método de Ernest Hobson
Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Círculo
A Área do Retângulo no blog Fatos Matemáticos

6 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Muito bacana a relação entre estas figuras. A quadratura era uma coisa muita almejada pelos antigos, não é? Eu fiz seu desenho no papel e refiz seus cálculos. Um bom exemplo para um professor ministrar aulas como revisão de áreas de figuras planas e teorema de pitágoras. Parabéns.

    Um abraço!

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    1. Olá Aloísio,

      Os três problemas clássicos foram estudados por toda a história da matemática, pois a partir deles, trouxeram novos problemas interessantes. Todos queriam encontrar uma solução. Esse é um problema interessante, pois as transformações são entre quadriláteros. Parece que funciona com paralelogramo também, vou tentar fazer um post sobre ele.

      Um abraço!

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  2. Esta construção que usa a relação métrica no triângulo retângulo h^2 = mn é muito interessante pelo fato de compararmos áreas sem medir as figuras com régua graduada. Em sala de aula, é uma excelente atividade no ensino fundamental. Obrigado pelo link compartilhado.

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    1. Olá Paulo,

      Atividades como essa deveriam estar incluídas nas aulas de geometria; exploram álgebra, raciocínio lógico, coordenação motora ao trabalharem com o compasso,... realmente as aulas de desenho geométrico deveriam voltar ao currículo escolar.

      Grande abraço!

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  3. Olá. Kleber!!!!

    Gostei dessa "quadratura"... estabelecendo um equilíbrio estre as área desses quadriláteros!!!!

    Quer dizer que, imagino, se colocarmos ambas figuras confeccionadas com um material homogênico quimicamente e disposto em uma placa de mesma espessura, cada uma em um dos dois pratos de um balança, então, BINGO!!!! A balança ficará em equilíbrio!!!!
    Bom, isso é uma maneira indireta de se comprovar a igualdade entre as áreas das figuras, obtidas por esse processo geométrico antigo e curioso realizado pelos gregos!!!!

    Uma pergunta: na ilustração as circunferências com centros em D e M citadas no texto... bem, aqui elas aparecem como elipses. Isso é algum defeito de imagem ou perspectiva????

    Outra pergunta: Vai ajudar ao Superman????

    Aproveito a ocasião para desejar umas Boas Festas e um grandioso Ano Novo para você e a sua família, com muita saúde e paz!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Olá Valdir,

      Exatamente: se forem feitos de material homogêneo e de mesma espessura, ficarão em equilíbrio, onde o ponto D é o centro de massa.

      As cônicas descritas são circunferências. Acho que seu computador as degenerou em elipses....

      Um abraço e boas festas e ótimo 2013 para você e sua família.

      Excluir

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