11 de jul de 2013

Um Pouco Sobre Logaritmos e Suas Propriedades Operatórias

Na antiguidade, os babilônios foram os que mais se interessaram pela Astronomia e durante séculos enfrentaram problemas com os cálculos que eram muito trabalhosos.

Os logaritmos surgiram para simplificar cálculos, já que transformam multiplicação em soma e divisão em subtração, dando um salto na Matemática e na Astronomia.

O termo logaritmo foi criado por Napier, que vem de logos e arithmos, que significam razão e número, respectivamente, e aparece em sua obra de $1614$ Mirifice Logarithmorum Canonis Descriptio (uma descrição das maravilhas dos logaritmos).

Contudo, acredita-se que foi a publicação do livro Arithmetica Integra, do matemático alemão Michael Stifel, em $1544$, que inspirou o trabalho de Napier e Bürgi. Em seu livro, Stifel comparou as seguintes sequências numéricas:
 
Com base nessas sequências, para calcular, por exemplo, $16 \times 64$, bastava somar os números correspondentes a $16$ e a $64$ na linha de cima. O número $16$ na linha de baixo corresponde a $4$ na linha de cima; o número $64$ na linha de baixo, corresponde a $6$ na linha de cima. Basta somar $4+6=10$. O resultado desta multiplicação é o número correspondente a $10$ na linha de baixo, ou seja $1024$. Assim, $16 \times 64=1024$.

A publicação teve sucesso imediato e Napier, juntamente com o entusiasta e professor de Oxford Henry Brigs, concordaram em adotar o uso de potências de dez.

Na mesma época, Jobst Bürgi obteve resultados semelhantes, mas de forma independente. Na verdade, talvez Bürgi já tivesse sua teoria em $1588$, mas sua publicação só veio em $1620$.

Para maiores informações sobre o desenvolvimento dos logaritmos, sugiro a leitura dos artigos abaixo citados:

• Os logaritmos segundo Napier
• Stifel, Bürgi e a criação dos logaritmos
• A construção da primeira tábua de logaritmos decimais por Briggs

Logaritmo

Definição: Sejam dois números reais positivos $a$ e $b$. Chama-se logaritmo de $b$ na base $a$ o expoente que se deve dar à base $a$ de modo que a potência obtida seja igual a $b$.
$$\log_a b=x \Leftrightarrow a^x=b$$
onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$, $0<a \neq 1$ e $b>0$.

No logaritmo dado acima, temos que $a$ é a base do logaritmo, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo.

Exemplo $1$: Calcular os logaritmos dados:
$a) \log_2 8 \Rightarrow \log_2 8=x \Rightarrow 2^x=8 \Rightarrow 2^x=2^3\Rightarrow x=3$
$b)\log_3 3 \Rightarrow \log_3 3=x \Rightarrow 3^x=3 \Rightarrow x=1$
$c)\log_4 1 \Rightarrow \log_4 1=x \Rightarrow 4^x=1 \Rightarrow x=0$
$d)\log_4 8 \Rightarrow \log_4 8=x \Rightarrow 4^x=8 \Rightarrow 2^{2x}=2^3 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x= 3/2$
$e)\log_{1/4}32 \Rightarrow \log_{1/4}32=x \Rightarrow \displaystyle \left( \frac{1}{4}\right)^x=2^5 \Rightarrow 2^{-2x}=2^5 \Rightarrow -2x=5 \Rightarrow x = -5/2$


Antilogaritmo

Definição: Sejam dois números reais positivos $a$ e $b$, com $a \neq 1$. Se o logaritmo de $b$ na base $a$ é $x$, então $b$ é o antilogaritmo de $x$ na base $a$.
$$\log_a b=x \Leftrightarrow anti\log_a x = b$$
Antilogaritmo é o nome adotado na representação de tabelas de logaritmos com significado equivalente à exponenciação e é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Por exemplo, o logaritmo de $8$ na base $2$ é $3$ e o antilogaritmo de $3$ na base $2$ é $8$.

Exemplo $2$:
$a) anti\log_2 8=x \Rightarrow \log_2 x=8 \Rightarrow 2^8=x \Rightarrow x=256$
$b) anti\log_3 3=x \Rightarrow \log_3 x=3 \Rightarrow 3^3=x \Rightarrow x=27$


Algumas Consequências da Definição de Logaritmos

$1-$ O logaritmo de $1$ em qualquer base é igual a zero.
$$\log_a 1=0$$
Pois $a^0=1$, sendo $a > 0$

$2-$ O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1.
$$\log_a a=1$$
Pois $a^1=a, \forall a > 0$.

$3-$ A potência de base $a$ e expoente $\log_a b$ é igual a $b$.
$$a^{\log_a b}=b$$
Fazemos $ \log_a b=x$, então:
$$a^x=b$$
Mas $x=\log_a b$, logo:
$$a^{\log_a b}=b$$
A justificativa desta propriedade se dá pelo fato e que o logaritmo de $b$ na base $a$ é o expoente que se deve dar à base $a$ para a potência obtida ser igual a $b$.

$4-$ Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmos são iguais.
$$\log_a b=\log_a c \Leftrightarrow b=c$$

Seja $\log_a b =\log_a c$. Pela definição de logaritmo, temos que:
$$a^{\log_a c}=b$$
e pela terceira consequência vem que $c=b$.

Exemplo $3$: Calcular os valores de:
$a) 8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5}=\left(2^{\log_2 5}\right)^3=5^3=125$
$b) 3^{1+\log_3 4}=3^1\cdot 3^{\log_3 4}=3\cdot 4=12$


Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Os logaritmos possuem diversas aplicações no cotidiano, seja em Matemática, Física, Química, Geologia, etc., aparecendo em fenômenos naturais, tais como terremotos, acidez do sangue, audição humana, ... O que faz dos logaritmos tão importantes são suas propriedades operatórias que torna vantajoso o seu uso em cálculos.

Logaritmo do Produto

Em qualquer base $a$, $0<a \neq 1$, o logaritmo do produto de dois fatores reais positivos é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
$$\log_a(b \cdot c)=\log_a b+\log_a c$$
Sendo $0<a \neq 1$, $b>0$ e $c>0$.

Sejam $\log_a b=x$, $\log_a c=y$ e $\log_a (b\cdot c)=z$. Devemos provar que $z=x+y$. De fato:

$ \log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$ \log_a c=y \Rightarrow a^y=c$
$ \log_a(b\cdot c)=z \Rightarrow a^z=b\cdot c$

Desta última, temos que:
$$a^z=b\cdot c\Rightarrow a^z=a^x \cdot a^y \Rightarrow a^z=a^{x+y} \Rightarrow z=x+y$$
Aqui usamos a propriedade fundamental das potências. Vejamos um exemplo:

Exemplo $4$: Calcular o logaritmo:
$$\log_2(4\cdot 8)=z \Rightarrow \log_2(2^2\cdot 2^3)=z \Rightarrow \log_2 2^{2+3}=z \Rightarrow \log_2 2^5=z \Rightarrow 2^z=2^5 \Rightarrow z=5$$
Por outro lado:
$$\log_2(4\cdot 8)=\log_2 4+ \log_2 8=\log_2 2^2 + \log_2 2^3$$
Daqui temos que $2^x=2^2 \Rightarrow x=2$ e $2^y=2^3 \Rightarrow y=3$, de modo que $\log_2(4\cdot 8)=z=x+y=2+3=5$.

Logaritmo do Quociente

Em qualquer base $a$, $0<a \neq 1$, o logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.
$$\log_a \left(\frac{b}{c}\right)=\log_a b-\log_a c$$
Sendo $0<1 \neq 1$, $b>0$ e $c>0$.

Sejam $\log_a b=x$, $\log_a c=y$ e $\displaystyle \log_a \left(\frac{b}{c}\right)=z$. Devemos provar que $z=x-y$. De fato:

$\log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$\log_a c=y \Rightarrow a^y=c$
$\displaystyle \log_a \left(\frac{b}{c}\right)=z \Rightarrow a^z=\frac{b}{c}$

Desta última, temos que:
$$a^z=\frac{a^x}{a^y} \Rightarrow a^z=a^{x-y} \Rightarrow z=x-y$$
Usamos novamente a propriedade fundamental das potências.

Exemplo $5$: Calcular o logaritmo usando a propriedade do quociente:
$$\log_2 \left(\frac{16}{4}\right)=\log_2\left(\frac{2^4}{2^2}\right)=\log_2 2^{4-2}=\log_2 2^2$$
Segue que $2^z=2^2 \Rightarrow z=2$. Logo, $\displaystyle \log_2\left(\frac{16}{4}\right)=2$.

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de um número $c$, sendo $c \in \mathbb{R}$ e $c > 0$, numa base $a$, sendo $a \in \mathbb{R}$ e $0 < a \neq 1$, ao oposto do logaritmo de $c$ na base $a$.
$$co\log_a c=-\log_a c$$
Sendo $0<a\neq 1$ e $b>0$.

Do logaritmo do quociente, temos: $\displaystyle \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$, se fizermos $b=1$, obtemos:
$$\log_a\left(\frac{1}{c}\right)=\log_a 1-\log_a c=0 - \log_a c = -\log_a c$$
Desta forma:
$$co\log_a c=-\log_a c=\log_a \left(\frac{1}{c}\right)$$

Logaritmo da Potência

Em qualquer base $a$, sendo $0<a\neq 1$, o logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
$$\log_a b^N=N\cdot \log_a b$$
Sendo $0<a\neq 1$, $b>0$ e $N \in \mathbb{R}$.

Sejam $\log_a b=x$ e $\log_a b^N=y$. Devemos provar que $y=N \cdot x$. De fato:

$\log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$\log_a b^N=y \Rightarrow a^y=b^N$
Desta última, temos:
$$a^y=b^N\Rightarrow a^y=(a^x)^N \Rightarrow y=N \cdot x$$

Um corolário desta propriedade é que para qualquer base $a$, $0<a \neq 1$, o logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é igual ao produto do inverso do índice da raiz pelo logaritmo do radicando.
$$\log_a \sqrt[N]{b} = \log_a b^{1/N}=\frac{1}{N}\log_a b$$
Sendo $0<a \neq 1$, $b>0$ e $N \in \mathbb{N}^*$$

Exemplo $6$:
$$\log_5 27=\log_5 3^3 = 3 \log_5 3$$

Mudança de Base

Para aplicarmos as propriedades operatórias, os logaritmos envolvidos devem estar numa mesma base. Se tivermos que usar uma tábua de logaritmos, teremos que converter o logaritmo para a base decimal para somente depois procurarmos o valor na tabela.

Outro caso é calcular um logaritmo utilizando uma calculadora científica. O logaritmo deve estar numa base decimal $(\log)$ ou base neperiana $(\ln)$.

Sejam $a$, $b$ e $c$ números reais positivos e $a$ e $c$ diferentes de $1$. Vale a relação:
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Seja $\log_a b=x$, $\log _c b=y$ e $\log_c a=z$, com $z \neq 0$, pois $a \neq 1$. Devemos provar que $\displaystyle x=\frac{y}{z}$. De fato:

$\log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$\log_c b=y \Rightarrow c^y=b$
$\log_c a=z \Rightarrow c^z=a$

Substituindo a terceira e a segunda na primeira equação, obtemos:
$$a^x=b \Rightarrow (c^z)^x=c^y \Rightarrow c^{zx}=c^y \Rightarrow zx=y \Rightarrow x=\frac{y}{z}$$

Exemplo $7$
$a)$ Converter $\log_3 5$ para base $2$.
$$\log_3 5=\frac{\log_2 5}{\log_2 3}$$
$b)$ Converter $\log_2 7$ para base decimal.
$$\log_2 7=\frac{\log 7}{\log 2}$$
Para finalizar esta breve introdução às propriedades operatórias dos logaritmos, deixo uma lista de exercícios para treinar o que vimos até aqui.

Exercícios

$1 -$ Calcular pela definição, os seguintes logaritmos:
$a) \log_5 125 \qquad b) \log_4 128 \qquad c) \log_{1/9} 3\sqrt{3}$

$2 -$ Calcular:
$a)$ O número cujo logaritmo em base $3$ vale $-2$.
$b)$ A base no qual o logaritmo de $32$ vale $10$.
$c)$ Cinco elevado a $\log_5 7$.
$d)$ $3^{\log_3 2}+2^{\log_2 3}$

$3 -$ Sabendo que $\log_b x=3$ e $\log_b y=-4$, calcule:
$\displaystyle a) \log_b (x^2\cdot y) \qquad b) \log_b \left(\frac{x^4}{\sqrt[3]{4}}\right)$

$4 -$ Desenvolva os logaritmos supondo $a$, $b$ e $c$ reais positivos:

$\displaystyle a) \log_5 \left(\frac{5a}{bc} \right) \qquad b) \log\left(\frac{b^2}{10a}\right)$
$\displaystyle c) \log_3 \left(\frac{ab^2}{c} \right) \qquad d) \log_2 \left( \frac{8a}{b^3c^2} \right)$

$5 -$ Calcular as expressões:
$a) \log_{15} 3+\log_{15} 5$
$b) \log_3 72 - \log_3 12 - \log_3 2$
$c) \displaystyle \frac{1}{3} \log_{15} 8 + 2\log_{15} 2 + \log_{15} 5 - \log_{15} 9.000$

$6 -$ Sabendo que $\log_{30} 3 = a$ e $\log_{30} 5 = b$, calcular $\log 2$.

$7 -$ Se $a$, $b$ e $c$ são reais positivos, provar a igualdade abaixo:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{\log c} \cdot \left(\frac{b}{c}\right)^{\log a} \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^{\log b}=1$$

$8 -$ Um modelo da perda $L$ de propagação de sinais ente a antena transmissora e a receptora em espaço livre de obstáculos é, em decibel, expressa por:
$$L=32,44 + 20\log f + 20\log d$$
onde $f$ é a frequência em $MHz$ e $d$ é a distância entre as antenas de transmissão e recepção em quilômetros. Considere um sinal de radiofrequência de $600MHz$ enviado por uma estação base para uma antena receptora localizada a $20Km$ de distância. Calcule a perda de propagação desse sinal em $dB$, considerando que $\log2=0,30$ e $\log3=0,48$.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar - Logaritmos
[2] Matemática, Ciência e Aplicações V1 - Gelson Iezzi et al
[3] Matemática, Contexto e Aplicações V1 - Dante


Veja mais:

Logaritmos: Os Sons e a Audição Humana
Usando Tábuas Para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas de Logaritmos Para Encontrar Aproximações de Raízes

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6 comentários:

  1. Boa tarde professor,
    Nas consequencias da definição, consta que o a^0 = 1, para qualquer a pertencente aos conjunto dos reais. O certo não seria qualquer real diferente de zero? Já que 0^0 é uma indeterminação?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá César, boa noite.

      Também acho que está certo. Já fiz a correção, incluindo a condição de que $a>0$, pois $a$ é a base do logaritmo.

      Um abraço.

      Excluir
  2. Minha solução para as questões que achei interessantes:

    6)
    $$ \log 2 = \log\left ( \frac{10}{5} \right ) $$
    $$ \log 2 = 1 - \log 5 $$
    $$ \log_{30} 3 = \frac{\log 3}{1 + \log 3} $$
    $$ a\left ( \log 3 + 1 \right ) = \log 3 $$
    $$ \log 3 = -\frac{a}^{a-1} $$
    $$ \log_{30} 5 = \frac{\log 5}{1 + \log 3} $$
    $$ \log 5 = b\left ( 1 - \frac{a}{a-1} \right ) $$
    $$ \log 2 = 1 - b\left ( 1 - \frac{a}{a-1} \right ) $$
    $$ \therefore $$
    $$ \log 2 = \frac{b + a - 1}{a-1} $$

    7)
    $$ \frac{a^{\log c}\, b^{\log a} \,c^{\log b}}{b^{\log c} \,c^{\log a} \,a^{\log b}} = 1 $$
    $$ \log\left ( a^{\log c} \right ) \, + \log\left ( b^{\log a} \right )\, + \log\left ( c^{\log b} \right ) = \log\left ( b^{\log c} \right ) + \log\left ( c^{\log a} \right ) + \log\left ( a^{\log b} \right ) $$
    $$ \log c \log a + \log a \log b + \log b \log c = \log b \log c + \log c \log a + \log a \log b $$

    De fato, a igualdade procede.
    Se
    $$ a^{\log c}\, b^{\log a} \,c^{\log b} $$
    é igual a
    $$ b^{\log c} \,c^{\log a} \,a^{\log b} $$, então
    $$ \frac{a^{\log c}\, b^{\log a} \,c^{\log b}}{b^{\log c} \,c^{\log a} \,a^{\log b}} = 1 $$

    Uma pergunta: a resposta da oitava é dada em função de logaritmos ou há como resolvê-los, usando as técnicas operatórias?

    O blog é excepcional! Parabéns! :)
    Já sou um leitor assíduo!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Repostando a parte da resolução da 8ª em que se acusa um erro de sintaxe:

      $$ \log 3 = -\frac{a}^{a-1} $$

      Excluir
    2. * Da sexta. É, não deu certo, de novo.

      log 3 = - a/(a - 1)

      Excluir
  3. Bom dia Mateus. Boas resoluções. Obrigado por participar. No exercício 8, faltou especificar os valores dos logs de 2 e 3. Já inseri-os.

    Para o exercício 6, tem uma resolução mais rápida:

    Podemos escrever $\displaystyle 2=\frac{30}{3 \cdot 5}$ e $\displaystyle 10=\frac{30}{3}$. Sendo assim, temos:

    $\displaystyle \log_2=\frac{\log_{30}{2}}{\log_{30}{10}}$
    $\displaystyle =\frac{\log_{30}\left(\frac{30}{3\cdot 5}\right)}{\log_{30}\left(\frac{30}{3}\right)}$
    $\displaystyle = \frac{\log_{30}30- \log_{30}3 - \log_{30}5}{\log_{30}30 - \log_{30}3}$
    Usando os valores de $a$ e $b$, obtemos:
    $\displaystyle =\frac{1-a-b}{1-a}$
    Se multiplicarmos o numerado e o denominador por $(-1)$, segue o seu resultado.

    Para o exercício 8, temos:

    $L=32,44+20 \log f +2-\log d$
    $L=32,44+20\log 600+20\log 20$
    $L=32,44+20\log (2^3\cdot 3\cdot 5^2)+20\log (2^2\cdot 5)$
    $L=32,44+20\log 2^3+20\log 3 + 20\log 5^2 +20\log 2^2+20\log 5$
    $\displaystyle L=32,44+60\log 2 +20\log 3+40\log \left(\frac{10}{2}\right)+40\log 2+20\log\left(\frac{10}{2}\right)$
    $L=32,44+60\cdot 0,3+20\cdot 0,48+40\log 10 -40\log 2+40\log 2+20 \log 10-20\log 2$
    $L=32,44+18+9,6+40+20-6$
    $L\approx 114$

    ResponderExcluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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