22 de set de 2013

A Prancha Trigonométrica

A Prancha Trigonométrica é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos, para que o professor, ou aluno, possa desenvolver atividades no estudo do círculo trigonométrico, pois é possível observar os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo simultaneamente. Entretanto, não há precisão nas medições, exceto para os ângulos notáveis, pois os valores já estão impressos nos eixos.

A prancha trigonométrica é composta por duas partes: uma base branca fixa e uma transparente giratória. Na base branca encontra-se o círculo trigonométrico de raio $r=1$, dividido em ângulos, numerado internamente em graus e externamente em radianos. Há também os eixos dos senos, cossenos e tangentes, divididos em décimos e também os valores irracionais de ângulos notáveis.

Na parte transparente giratória, encontra-se uma reta em vermelho que passa pela origem, por onde se dá o giro, e uma circunferência de raio igual a $r/2$, com centro em uma dessas semirretas.

Quando giramos a parte transparente, a reta forma um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos (eixo horizontal) e podemos verificar o valor do ângulo, do seno, do cosseno e da tangente simultaneamente, apenas observando os pontos de intersecção da circunferência com os eixos dos senos e dos cossenos e da reta com o eixo das tangentes.

Vejam que, ao girarmos a parte transparente formando um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos, o ponto $P$ indica o ângulo em graus e em radianos, e as projeções do ponto $P$ nos eixos dos cossenos e dos senos, dão os pontos $x$ e $y$, que são os valores do cosseno e do seno do ângulo $\theta$, assim como o ponto $t$ é a intersecção da reta com o eixo das tangentes, o que nos dá o valor da tangente do ângulo $\theta$.

Vejamos alguns exemplos determinando os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis.

$1)$ $\theta = 0°$


Quando a reta está horizontal, temos um ângulo $\theta = 0°$ e podemos observar os valores:

Vejam que o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos cossenos e a intersecção se dá no ponto $x=1$, que é o raio do círculo unitário.

$2)$ $\theta = 30°$



Girando a parte transparente no sentido anti-horário até que a reta forme um ângulo $\theta = 30°$ com o eixo dos cossenos, podemos observar os valores:

Aqui a projeção do ponto $P$, que é a intersecção da reta com a circunferência de raio unitário, sobre o eixo dos cossenos, recai sobre o ponto $x=\sqrt{3}/2$. A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=1/2$, ou seja, exatamente na metade do eixo. A tangente é definida pela razão entre o seno e o cosseno:
$$\text{tan}(30°)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Que é exatamente o ponto $t$ sobre o eixo das tangentes.

$3)$ $\theta = 45°$


Girando um pouco mais a parte transparente, paramos a reta sobre o ângulo de $45°$. Podemos observar os valores:

Fica fácil observar que o ângulo $\theta = 45°$ divide o $1º$ quadrante em partes iguais e que as projeções do ponto $P$ sobre os eixos dos cossenos e dos senos estão a uma mesma distância da origem, consequentemente, os valores do cosseno e do seno serão iguais, sendo $x=y=\sqrt{2}/2$. Podemos notar o quadrado $OxPy$. O eixo das tangentes está sendo cortado pela reta no ponto $t=1$:
$$\text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=1$$

$4)$ $\theta =60°$


Para o ângulo de $60°$, observamos os seguintes valores:

A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos cossenos recai sobre o ponto $x=1/2$ e a projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=\sqrt{3}/{2}$. Observem a relação entre os ângulos de $30°$ e $60°$.

O eixo das tangentes está sendo cortado no ponto $t=\sqrt{3}$ pela reta. Pela definição:
$$\text{tan}(60°)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$$

$5)$ $\theta = 90°$


Se girarmos um pouco mais a parte transparente até que a reta forme um ângulo de $90°$ com o eixo dos cossenos, vemos que a reta se torna paralela ao eixo das tangentes, não tendo nenhum ponto em comum. Observamos os seguinte valores:

Vejam que aqui o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos senos e a intersecção se dá no ponto $y=1$ que é o raio do círculo unitário. Observamos ainda que não existe um valor para a tangente de $90°$. Quando o ângulo $\theta$ se aproxima de $90°$, o valor do cosseno torna-se cada vez menor, aproximando-se de zero; já o seno fica cada vez mais próximo de $1$; a tangente cresce rapidamente, tendendo ao infinito. Poderíamos dizer então que, quando $\theta$ tende a $90°$, a tangente tende ao infinito. Até é verdade, mas num contexto geral não faz muito sentido dizer que a tangente de $90°$ é igual a $+\infty$, já que o infinito não é um número e faz mais sentido no Cálculo, quando é apresentado limites no infinito, que não é o foco deste aparato.

Para os demais quadrantes, obtemos valores para o seno, cosseno e tangente aplicando a redução ao primeiro quadrante.

Assim, podemos construir uma tabela mais elaborada para os ângulo notáveis:


Veja mais:

Demonstração dos Ângulos Notáveis
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Tabela Trigonométrica dos Ângulos do Primeiro Quadrante

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5 comentários:

  1. Olá Kleber... Confesso que tem um monte dessas "pranchas trigonométricas na escola que eu trabalho mas eu tinha algumas dúvidas em como usá-las em sala de aula com meus alunos. Agora que li esta publicação posso usufruir ao máximo das funções desse aparato pedagógico em minhas aulas. Muito boa mesmo a publicação...

    Kleber, eu percebi que no exemplo 4) dessa publicação você cometeu um pequeno erro na hora de encontrar a tangente de 45º, na hora da divisão das frações, veja como você colocou:

    \text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1

    O certo seria:

    \text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=1

    Você esqueceu apenas de inverter a segunda fração... Fica a dica para corrigir esse trecho de sua publicação...

    Att. Romirys Cavalcante

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    Respostas
    1. Olá Romirys, obrigado pela leitura atenta. Erros de digitação...

      É uma ferramenta auxiliar nas aulas de trigonometria que permite mostrar ao alunos como se comportam as relações básicas. Veja que não há precisão nas medições, mas podemos ver como se dá a relação entre seno e cosseno e também a tangente.

      Só uma observação: Para inserir equações em Latex, utilize os símbolos de $\$$ no início e no fim.

      Um abraço!

      Excluir
  2. Assim Kleber ??? rsrsrsrs


    $ \text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=1 $

    Obrigado pela dica... Um abraço e até a próxima...

    Att. Romirys Cavalcante

    ResponderExcluir
  3. Muito bacana. Eu não conhecia esta prancha. É bem fácil de entender. Imagino se os professores de Matemática de minha escola tivessem uma dessas em tamanho ampliado, poderiam mostrar de uma maneira bem simples aos alunos, pelo menos os ângulos fundamentais, que eles decoram com uma regrinha mais ou menos assim: "1,2,3, tira raiz, divide por dois". Taí a tal decoreba.

    Será que não tem um programa de computador em que o aluno, com o mouse, giraria a parte transparente? Seria uma boa ideia pra facilitar o ensino e aprendizado de trigonometria.

    Boa ideia esta sua, Kleber, de divulgar este aparato simples, mas muito bem bolado. Parabéns.

    Abraço.

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    Respostas
    1. Oi Jairo. Eu achei bem legal, pois mostra a variação do seno, cosseno e tangente, conforme giramos a parte superior e o ângulo $\theta$ varia. Dá até para incorporar o eixo da cotangente.

      Tem o Geogebra que podemos construir as relações e criar um applet java onde podemos interagir. Eu não sei manipular este software, mas não acho que seja muito difícil.

      No site do fabricante, tem diversas ferramentas para os professores. O difícil é aplicar em sala de aula.

      Quando estava estudando esta ferramenta, fiquei pensando como incorporar a cossecante e a secante. Fiquei de ver se conseguiria adaptar. Se der certo publico aqui uma continuação.

      Obrigado pela visita!

      Um abraço.

      Excluir

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