15 de nov de 2014

Emmy Noether e a Álgebra Moderna

Até o primeiro quartel do século $XIX$ a álgebra ainda praticamente se restringia à teoria clássica das equações. Daí que não se cogitasse de sistemas algébricos além dos usuais. Mas mesmo estes careciam de uma fundamentação lógica. Por exemplo, não havia uma definição precisa de número real e, portanto, as propriedades das operações com esses números eram simplesmente admitidas com base na intuição (e, por que não dizer, na fé).


A questão da resolubilidade (por radicais) das equações de grau $\geq 5$ foi um dos fatores que contribuíram para iniciar uma mudança nesse panorama. Joseph-Louis Lagrange $(1736-1818)$, um dos primeiros a examiná-la com profundidade, concluiu que a teoria das permutações era "a verdadeira filosofia da questão". E acertou porque as condições de resolubilidade, estabelecidas por Evariste Galois $(1811-1832)$, envolvem a noção de grupo de permutações (criada por Galois, assim como o termo grupo). Essas condições não se verificam para equações de grau $\geq 5$ que, portanto, não são resolúveis por radicais. Mas a noção de grupo abstrato só surgiria em $1854$ com Arthur Cayley. Começavam assim a surgir as estruturas algébricas. Mais algum tempo e surgiria a de anel, a que está intimamente ligado o nome de Amalie Emmy Noether $(1882-1935)$.

Emmy Noether nasceu na cidade de Erlanger, sul da Alemanha, em cuja universidade seu pai era professor. Em Erlanger mesmo, de $1900$ a $1903$, frequentou cursos de línguas e matemática nos moldes então impostos às mulheres: com a aquiescência dos professores responsáveis (o que muitas vezes não se conseguiam) mas com direito a obter a graduação mediante exames finais (uma avanço em relação a outros tempos). Depois de graduada prosseguiu seus estudos e em $1907$ obteve seu doutoramento em matemática com uma tese de valor mas que, com certeza, não prenunciava até onde ela poderia chegar.

Nos anos seguintes permaneceu em Erlanger trabalhando em suas pesquisas (das quais resultaram vários artigos) e, eventualmente, substituindo seu pai na universidade. Em $1916$, a convite de Hilbert, vai para Göttingen. Mas, apesar de seus méritos científicos cada vez mais evidentes, por ser mulher praticamente as portas lhe eram fechadas de uma carreira universitária  plena. Assim, somente em $1922$ passou a ser remunerada pela universidade, em nível bastante modesto, apesar das instâncias de hilbert. Mas sempre se dedicou ao trabalho com extrema dedicação e brilho, sobressaindo-se em alto grau na orientação de alunos. Dentre estes, um dos mais talentosos foi B. L. van der Waerden, autos do clássico Álgebra moderna $(1930)$. Esta obra, baseada em grande parte em cursos ministrados por Emmy, levou a todos os cantos do mundo a nova álgebra, a álgebra moderna ou abstrata, cuja ideia central é a de estrutura algébrica.

O nome de Emmy, sem dúvida uma das principais fundadoras desse novo campo, está ligado mais diretamente a dois conceitos fundamentais: o de anel noetheriano (em sua homenagem) e o de anel de Dedekind, de muita utilidade na geometria algébrica. O conceito de anel foi introduzido por Richard Dedekind $(1831-1916)$ e basicamente se compõe de um conjunto não vazio e duas operações sobre este conjunto: uma "adição" (com as quatro propriedades usuais) e uma "multiplicação" (associativa e distributiva em relação à adição). São exemplos de anéis: o sistema dos números inteiros, o dos racionais, o dos reais, o dos complexos e o dos polinômios (inteiros, racionais, reais ou complexos). Cada um deles, obviamente, tem suas particularidades, são apenas modelos de anéis. Mas a teoria geral dos anéis vale para todos eles, assim como para qualquer sistema que se enquadrar na definição (inclusive os que venham a ser criados). Nessa generalidade reside a grande vantagem de se trabalhar com estruturas algébricas.

Em $1933$, com os nazistas já dominando a Alemanha, Emmy, que era de origem judia, teve sua licença para lecionar suspensa por tempo indeterminado. Nesse mesmo ano mudou-se para os Estados Unidos, contratada pelo Bryn Mawr College, perto de Filadélfia. Mas em $1935$ morreu de maneira inesperada devido a complicações decorrentes de uma cirurgia aparentemente bem-sucedida. Nunca uma mulher, até sua época, levara tão alto a matemática.

Texto de Hygino H. Domingues

Veja mais:

• Florence Nightingale e os Gráficos Estatísticos
• Lagrange: A Grande Pirâmide Da Matemática
• Cayley e a Teoria das Matrizes

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