31 de jan de 2015

Área de Polígonos Regulares

Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos.

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, sendo o centro da circunferência, o centro do polígono. Unindo o centro do polígono a cada um de seus vértices, decompomos o polígono em triângulos isósceles.

O segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de seus lados é chamado de apótema.

A partir dessas informações, podemos encontrar a fórmula para a área de qualquer polígono regular.

Vamos considerar um polígono regular qualquer:


[Figura 1]

Sejam $\ell$ a medida do lado, $m$ a medida do apótema, $n$ o número de lados do polígono e seja $p$ o semiperímetro .

Podemos decompor um polígono regular em $n$ triângulos de base $\ell$ e altura $m$. Desta forma, a área de cada triângulo será:
\begin{equation}
A_T=\frac{\ell \cdot m}{2}
\end{equation}
e a área do polígono será o produto da área do triângulo $A_T$ pelo número $n$ de lados:
\begin{equation}
A_{pol}=n \cdot A_T = \frac{n \cdot \ell \cdot m}{2}
\end{equation}
No entanto, o semiperímetro $p$ do polígono é dado por:
\begin{equation}
p=\frac{n \cdot \ell}{2}
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
A_{pol}=\frac{2\cdot p \cdot m}{2}
\end{equation}
Assim, a área de um polígono regular é dado pelo produto entre seu semiperímetro $p$ pelo seu apótema $m$:
\begin{equation}
A_{pol}=p\cdot m
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar a área de um hexágono cujo apótema mede $\displaystyle 2\sqrt{3} \: cm$.


[Figura 2]

Como o hexágono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, para calcularmos a medida $\ell$ de seus lados, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo $BOC$:


[Figura 3]

\begin{equation*}
\ell ^2 = \frac{\ell ^2}{4} + m^2\\
\ell^2 - \frac{\ell ^2}{4} = m^2\\
\frac{3\ell ^2}{4} = m^2\\
\ell^2 = \frac{4m^2}{3}\\
\ell = \sqrt{\frac{4m^2}{3}}
\end{equation*}
Substituindo o apótema $m=2\sqrt{3}$:
\begin{equation*}
\ell = \sqrt{\frac{4(2\sqrt{3})^2}{3}}\\
\ell = \sqrt{\frac{4\cdot 4 \cdot 3}{3}}\\
\ell = 4 \:cm
\end{equation*}
Assim, o semiperímetro será:
\begin{equation*}
p=\frac{6\ell}{2} = \frac{6\cdot 4}{2} = 12 \: cm
\end{equation*}
e a área do hexágono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 12 \cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\approx 41,57\:cm
\end{equation*}

Fórmula para a área de alguns polígonos regulares

A partir da relação $(5)$, podemos determinar a fórmula para a área de alguns polígonos regulares. Veremos apenas alguns, mas o raciocínio segue para os demais.

Triângulo equilátero

A área do triângulo é dada pelo semiproduto da base por sua altura: $\displaystyle A_{pol}=\frac{\ell h}{2}$.


[Figura 4]

O ponto $O$ é o baricentro do triângulo $\triangle ABC$, de modo que:
\begin{equation*}
m=\frac{1}{3} \overline{DA} = \frac{1}{3} h
\end{equation*}
Sendo o semiperímetro $\displaystyle p=\frac{3\ell}{2}$, temos que:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = \frac{3\ell}{2} \cdot \frac{1}{3}h = \frac{\ell h}{2}
\end{equation*}

Quadrado

A área do quadrado é dada pelo produto de dois de seus lados adjacentes: $\displaystyle A_{pol}=\ell^2$.


[Figura 5]

O ponto $O$ é o centro do quadrado $ABCD$ de lados $\ell$. Decompondo em triângulos isósceles, tomamos o triângulo $\triangle AOB$. Assim:
\begin{equation*}
m=\overline{OE} = \frac{\ell}{2}
\end{equation*}
O semiperímetro é $p=2\ell$ e a área do polígono será:
\begin{equation*}
A_{pol}=p\cdot m=2\ell \cdot \frac{\ell}{2}=\ell ^2
\end{equation*}

Hexágono

A área do hexágono é dada por $\displaystyle A_{pol}=\frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}$.


[Figura 6]

O ponto $O$ é o centro do hexágono $ABCDEF$, por onde o decompomos em seis triângulos equiláteros. Tomando o triângulo $\triangle AOB$ temos que:
\begin{equation*}
m=\overline{OG}=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}
e o semiperímetro será $p=3\ell$. Assim:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 3\ell \cdot \frac{\ell \sqrt{3}}{2} = \frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}

Octógono

A área do octógono regular é dada por $\displaystyle 2\ell^2 (1+\sqrt{2})$.


[Figura 7]

O ponto $O$ é o centro do octógono, por onde o decompomos em $8$ triângulos isósceles. O semiperímetro será $p=4\ell$.

O prolongamento dos lados não adjacentes do octógono forma um quadrado $DEFG$ .Vamos agora escrever os lados dos triângulos formados nos vértices desse quadrado, denotados por $a$, em função do lado $\ell$ do octógono.



[Figura 8]

Aplicando o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
\ell^2 = 2a^2 \Longrightarrow a=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}
\end{equation*}
Vejam que $\displaystyle m=\frac{\overline{EF}}{2}$ e $\overline{EF}=\ell +2a$. Assim:
\begin{equation*}
m=\frac{\ell + 2a}{2} = \frac{\ell}{2}+a = \frac{\ell}{2} + \frac{\ell \sqrt{2}}{2} = \frac{\ell (1+\sqrt{2})}{2}
\end{equation*}
A área do octógono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 4\ell \cdot \frac{\ell(1+\sqrt{2})}{2} = 2\ell^2 (1+\sqrt{2})
\end{equation*}

Apesar de obtermos qualquer área de um polígono regular com a fórmula geral $A_{pol} = p\cdot m$, as deduções acima nos fornecem as áreas dos polígono somente em função de seu lado, o que por vezes pode ser muito mais útil.

Referências

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais

Como determinar o ângulo interno de um polígono regular
Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo
Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $N$ lados

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4 comentários:

  1. Olá Kebler:

    Inicialmente você diz:

    "Unindo o centro do polígono a cada um de seus vértices, decompomos o polígono em triângulos isósceles." Mais adiante você diz: "O ponto O é o centro do hexágono ABCDEF, por onde o decompomos em seis triângulos equiláteros."

    Diante do exposto, desejaria saber o seguinte: O hexágono regular foi decomposto em triângulos isósceles ou em triângulos equiláteros?

    Abraços

    Prof. Sebá

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Sebá!

      No início, disse que um polígono pode ser dividido em triângulos isósceles, o que é válido para qualquer polígono regular. No caso do hexágono, além de isósceles, o triângulo também é equilátero, que neste caso, facilita os cálculos porque seus três lados possuem a mesma medida.

      Abraços!

      Excluir
  2. Professor na parte em que o senhor fala da área do hexágono no começo o senhor diz que:
    $A_{pol} = \frac{2l^2 \sqrt{3}}{2} $
    Mas após a demonstração o resultado é $ A_{pol} = \frac{3l^2 \sqrt{3} } {2} $
    Que é o resultado correto.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Israel, como vai?

      Você está certo, foi um erro de digitação. Já está corrigido.Obrigado pela leitura atenta.

      Um abraço!

      Excluir

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