22 de jan de 2015

Teorema do Quadrilátero Circunscritível

Este artigo trata do quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Veremos a condição necessária e suficiente, algumas propriedades e teoremas interessantes e alguns exercícios resolvidos.


Teorema $1$:

Se conduzirmos por um ponto $P$ os segmentos $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$, ambos tangentes a uma circunferência $\lambda$, em $A$ e $B$ respectivamente, então $\overline{PA}$ é congruente a $\overline{PB}$:
\begin{equation}
\overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Por hipótese temos que $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes a $\lambda$, sendo $A$ e $B$ $\in$ $\lambda$. De modo que temos $\overline{PA} \equiv \overline{PB}$.


[Figura 1]

Observando a figura acima, nota-se que os triângulos $\triangle PAO$ e $\triangle PBO$ são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência $\lambda$. Assim, $\overline{OP}$ é a hipotenusa de cada triângulo e $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$ são os catetos:
\begin{equation}
\triangle PAO \equiv \triangle PBO \Longrightarrow \overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Esta demonstração é importante para o que veremos a seguir.

Definição $1$: Quadrilátero circunscrito

Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência.


[Figura 2]

Na figura acima, o quadrilátero $ABCD$ está circunscrito à circunferência $\lambda$ e cada segmento que constituem seus lados são tangentes nos pontos $X$, $Y$, $Z$ e $W$.

Teorema $2$:

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Esse teorema nos diz que se, por hipótese, o quadrilátero $ABCD$ é circunscrito à circunferência $\lambda$, então temos que:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}
Utilizando os dados obtidos no teorema $1$, sobre a propriedade dos segmentos tangentes, podemos utilizar o raciocínio no quadrilátero circunscrito representado na figura acima, de modo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são os pontos de tangência dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DA}$, respectivamente. Assim, temos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX} & \equiv & \overline{AW}  \\
\overline{BY} & \equiv & \overline{BX} \\
\overline{CZ} & \equiv & \overline{CY} \\
\overline{DW} & \equiv & \overline{DZ}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Somando membro a membro, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AX} + \overline{BX} +\overline{CZ}+\overline{DZ} = \overline{AW}+\overline{BY}+\overline{CY}+\overline{DW}
\end{equation}No entanto:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX}& + & \overline{BX} &=& \overline{AB}\\
\overline{CZ}& + & \overline{DZ} &=& \overline{CD}\\
\overline{AW}& + & \overline{DW} &=& \overline{AD}\\
\overline{BY}& + & \overline{CY} &=& \overline{BC}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Fazendo as devidas substituições, chega-se a:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}

Exercício $1$:

Determinar o perímetro do quadrilátero $ABCD$, circunscrito:


[Figura 3]

Temos que:
\begin{equation*}
(3p+1) + (p+1) = 3p + 2p\\
4p+2 = 5p\\
p=2
\end{equation*}
Assim, cada lado medirá:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}& + & 3p+1 &=& 7\\
\overline{BC}& + & 2p &=& 4\\
\overline{CD}& + & p+1 &=& 3\\
\overline{DA}& + & 3p &=& 6
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
E o perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=7+4+3+6=20
\end{equation*}

Exercício $2$:

O quadrilátero $ABCD$ é circunscritível e seus lados medem $\overline{DA}=12cm$, $\overline{CD}=9cm$, $\overline{BC}=x+7$ e $\overline{AB}=2x+1$. Determine seu perímetro.


[Figura 4]

Fazemos:
\begin{equation*}
2x+1+9=x+7+12\\
2x+10=x+19\\
x=9
\end{equation*}
O perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=19+16+9+12=56cm
\end{equation*}

Exercício $3$:

Calcular o valor do raio da circunferência inscrita no trapézio retângulo.


[Figura 5]

Temos que $\overline{AB}=2r$, Assim:
\begin{equation*}
2r+13=10+15\\
2r=12\\
r=6 u.m.
\end{equation*}

Exercício $4$:

A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a $8cm$ e a diferença dos outros dois lados é $4cm$. Determine os lados do quadrilátero sendo $56cm$ a sua soma.

Analisando o problema, podemos construir a imagem abaixo, utilizando da propriedade dos segmentos tangentes, podemos subdividir cada lado do quadrilátero em duas partes, como segue:


[Figura 6]

Da figura acima, obtemos:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)-(z+w)&=&8&\quad (1)\\
(y+z)-(w+x)&=&4& \quad (2)\\
x+y+z+w &=&28&\quad (3)
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
De $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
x+y=8+z+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
8+z+w+z+w=28\\
z+w=10 = \overline{CD}
\end{equation*}
substituindo em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
x+y=18 = \overline{AB}
\end{equation*}
De $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
y+z=4+x+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
4+x+w+x+w=28\\
x+w=12 = \overline{DA}
\end{equation*}
Substituindo em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
y+z-12=4\\
y+z=16=\overline{BC}
\end{equation*}
Portanto, as medidas dos segmentos do quadrilátero são:
\begin{equation*}
\overline{AB}=18cm\\
\overline{BC}=16cm\\
\overline{CD}=10cm\\
\overline{DA}=12cm
\end{equation*}
Podemos verificar o resultado:
\begin{equation*}
18+10=16+12\\
28=28
\end{equation*}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

Teorema do quadrilátero inscritível
Teorema do Ângulo Inscrito
Quadriláteros Notáveis

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4 comentários:

  1. Bom dia, professor.
    Apenas uma observação, na identidade (4): AX=AW
    Muito bom, o artigo.
    Parabéns.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pela leitura atenta! Corrigido! Abraços.

      Excluir
  2. No exercício 3, gostaria de uma explicação: a maioria das resoluções desta questão, usa-se o teorema de Pitágoras para saber a altura a fim de calcular o lado que forma os ângulos de 90º. Este lado teria a mesma medida da diagonal?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Posso não ter entendido sua pergunta direito, mas se o lado AB forma ângulos retos com os lados adjacentes, então sempre será um cateto, logo sempre será menor do que qualquer diagonal.

      Excluir

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