18 de fev de 2015

A Multiplicação Egípcia

Todos os $110$ problemas contidos nos papiros de Moscou e Rhind são numéricos, sendo alguns de origem prática e outros teóricos.


Basicamente a multiplicação era efetuada por uma sucessão de duplicações de um fator e o outro fator dado por uma soma de potências de base $2$. O fato é que podemos expressar qualquer número como uma soma de potências de $2$. Como por exemplo o número $5=2^2+2^0$ e o número$19=2^4+2^1+2^0$.

O que os egípcios faziam era encontrar uma combinação das potências de $2$ de modo a obter um dos fatores da multiplicação desejada.

Em uma das colunas, dispunham os números de base $2$ até o número imediatamente inferior a um dos fatores. Na outra coluna escreviam duplicações do segundo fator. Na coluna das potências de $2$, identificavam as potências cuja soma seria igual a um dos fatores e somavam as duplicações correspondentes da outra coluna, encontrando o produto desejado.

Vejamos a seguir alguns exemplos.

Exemplo $1$: Encontrar o produto de $26$ por $41$

Primeiramente, escolhemos qual dos dois fatores será representado na coluna das potências de $2$. Tomemos o número $26$, mas também poderia ser o número $41$.


Paramos no número $16$ porque o próximo número da sequência é o $32$, que é maior do que o fator $26$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $26=16+8+2$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $41$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
26 \times 41 = 82 + 328 + 656 = 1066
\end{equation*}

Exemplo $2$: Encontrar o produto de $112$ por $173$

Tomemos o número $112$ para ser representado na coluna das potências de $2$


Paramos no $64$ porque o próximo número da sequência é o $128$, que é maior do que o fator $112$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $112 = 64 + 32 + 16$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $173$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
112 \times 173 = 2768 + 5536 + 11072 = 19376
\end{equation*}

Os egípcios usavam hieróglifos para representar números em base $10$:


Vejamos como ficaria uma multiplicação egípcia com seus hieróglifos.

Exemplo $3$: Encontrar o produto de $17$ por $23$


Os números $17$ e $23$ são representados assim pelos hieróglifos egípcios:


Tomemos o número $17$ na primeira coluna. Colocamos os hieróglifos nas potências de base $2$:


As duplicações de $23$ são: $46$, $92$, $184$, $368$. Escrevemos na segunda coluna os hieróglifos correspondentes:


Como $17=16+1$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $23$ na outra coluna:


Assim, $17 \times 23 = 368 + 23 = 391$. Escritos em hieróglifos:


Uma observação interessante é que esta soma final assemelha-se ao que fazemos no ábaco. Pois quando somamos $3$ hastes com $8$ hastes, obtemos $11$ hastes. Então, trocamos $10$ hastes por $1$ arco de cesto e mantemos uma haste.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp
[2] Hieróglifos retirados do site http://discoveringegypt.com

Veja mais:


Método da multiplicação dos camponeses russos
Método da gelosia para multiplicações 
Método da falsa posição
Frações unitárias


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2 comentários:

  1. Olá Kleber:
    Há outro método de multiplicação egípcia. Eles criavam duas colunas; e à medida que iam dividindo um número da primeira coluna por 2, multiplicavam um número da segunda coluna por 2. Se a divisão por 2 não fosse exata, consideravam apenas a parte inteira. Quando aparecia na primeira coluna a unidade, então, paravam o processo, e em seguida,somavam-se somente os números da segunda coluna que correspondessem aos números ímpares da primeira coluna Vejamos o mesmo exemplo apresentado no post: 26 x 41:

    26 41
    (13) (82)
    06 164
    (03) (328)
    (01) (656)

    26 x 41 = 82 + 328 + 656 = 1066

    Você pode está perguntando a si mesmo: e se fosse 41 x 26? O método não mudaria.

    (41) (26)
    20 52
    10 104
    (05) (208)
    02 416
    (01) (832)

    41 x 26 = 26 + 208 + 832 = 1066

    Abraços

    Prof. Sebá


    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Sebá, como vai?

      Conhecia este tipo de multiplicação como método dos camponeses russos. Tinha lido em algum livro que não me lembro mais. Mas na época fiz um artigo sobre , veja: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/03/metodo-da-multiplicacao-dos-camponeses.html

      O interessante de tudo isso são os métodos empregados: encontravam alternativas para resolver a matemática rudimentar. Mas por outro lado, o métodos são bem elaborados e hoje podemos ver a complexidade de cada um.

      Um abraço!

      Excluir

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