10 de jul de 2016

Funções compostas e a regra da cadeia

A regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas ou mais funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena $(dy/dx)$. A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.


Vamos iniciar este estudo com um problema de derivar uma função. Para isso, suponha a função:
\begin{equation}
y = (x^2 + 5x)^3
\end{equation}
e que queremos determinar a sua derivada $dy/dx$.

Uma forma de resolver é usa o Teorema do Binômio para expandir a função no polinômio:
\begin{equation}
y = (x^2+5x)^3 = x^6+15x^5++75x^4+125x^3
\end{equation}
e em seguida, diferenciarmos o polinômio:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = 6x^5+75x^4+300x^3+375x^2
\end{equation}
Neste caso o processo é fácil, mas trabalhoso. Mas para funções envolvendo expoentes de grau mais alto, tais como $y=(7x^5+19)^{100}$, o processo é inviável.

Outra forma de resolver é fazermos a introdução de uma nova variável auxiliar $u=x^2+5$, de modo que a relação $(1)$ pode ser decomposta em partes mais simples, como:
\begin{equation}
y=u^3 \quad \text{e} \quad u=x^2+5x
\end{equation}
Neste sentido, se substituirmos a expressão de $u$ em $y=u^3$ obtemos uma função composta, também chamada de função de função. Em linhas gerais $y$ é uma função de $u$, onde $u$, por sua vez é uma função de $x$:
\begin{equation}
y=f(u) \quad \text{onde} \quad u=g(x)
\end{equation}
A correspondente função composta é a função:
\begin{equation}
y = f\left(g(x)\right)
\end{equation}

A regra da cadeia

Se $y$ é uma função diferenciável de $u$ e se $u$ é uma função diferenciável de $x$, então $y$ é uma função diferenciável de $x$, de modo que:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
\end{equation}
Neste modelo, a regra da cadeia tem aparência de uma identidade algébrica trivial. A notação fracionária de Leibniz para as derivadas sugere que $du$ pode ser cancelado das duas "frações" à direita. Seu conteúdo intuitivo é fácil de entender se pensarmos em derivadas como taxas de variação:

Se $y$ varia $a$ vezes mais rápido que $u$ e se $u$ varia $b$ vezes mais rápido que $x$, então $y$ varia $ab$ vezes mais rápido que $x$.

Voltando à função composta dada em $(1)$ e sua decomposição $(4)$, podemos aplicar a fórmula $(7)$, obtendo:
\begin{matrix}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}&=&3u^2(2x+5)=3(x^2+5)^2(2x+5)\\
&=& 6x^5+75x^4+300x^3+375x^2
\end{matrix}
O resultado obtido é o mesmo encontrado em $(3)$. Da mesma forma, podemos calcular facilmente a derivada de $y = (7x^5+19)^{100}$. Escrevemos:
\begin{equation*}
y=u^{100}\quad \text{onde} \quad u=7x^5+19
\end{equation*}
e usamos a fórmula $(7)$, obtendo:
\begin{matrix}
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}&=&100u^{99}\cdot 35x^4=100(7x^5+19)^{99}\cdot 35x^4\\
&=& 3500x^4(7x^5+19)^{99}
\end{matrix}
Vejam como esses exemplos mostram como a regra da cadeia é um instrumento poderoso para o cálculo.

Demonstração:

Usando uma variação infinitesimal $\Delta x$ na variável independente $x$, esta produz uma variação $\Delta u$ na variável $u$, que por sua vez, produz uma variação $\Delta y$ na variável $y$. Derivabilidade implica em continuidade, assim, $\Delta u \rightarrow 0$ quando $\Delta x \rightarrow 0$. Olhando as definições das três derivadas que queremos relacionar:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad , \quad
\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \quad , \quad
\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{equation}
podemos completar a demonstração por álgebra simples:
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{equation}
e assim:
\begin{equation}

\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} =\\
\ \\
= \left[  \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \right] \left[  \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \right]=\\
\ \\
=\left[  \lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \right] \left[  \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \right]= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}

\end{equation}
A falha desta demonstração é na possível divisão por zero. Ao calcularmos $dy/dx$ pela definição dada em $(8)$, sabemos pelo significado dessa fórmula que o incremento $\Delta x$ é infinitesimal, tendendo a zero, mas nunca será igual a zero. Por outro lado, pode ocorrer de $\Delta x$ não induzir uma variação real em $u$, de modo que $\Delta u = 0$. Essa possibilidade invalida as relações $(9)$ e $(10)$.

Podemos contornar este problema usando um artifício matemático. Começamos com a definição de derivada $dy/du$:
\begin{equation}
\frac{dy}{du} = \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}
\end{equation}
Isto é equivalente a:
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{dy}{du}+\epsilon\\
\ \\
\Delta y = \frac{dy}{du}\Delta u + \epsilon \Delta u
\end{equation}
onde $\epsilon \rightarrow 0$ quando $\Delta u \rightarrow 0$.

Nestas equações supomos que $\Delta u$ é um incremento não-nulo em $u$, mas a última equação é válida mesmo quando $\Delta u = 0$. Dividindo esta por um incremento não-nulo $\Delta x$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \frac{\Delta u}{\Delta x} + \epsilon  \frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{equation}
E se fizermos $\Delta x \rightarrow 0$ obtemos a regra da cadeia dada em $(7)$, desde que $\epsilon \rightarrow 0$.

A regra da cadeia é muito importante e indispensável para uma boa parte dos cálculos mais complexos de derivadas. Um exemplo disso foi mostrado no cálculo da derivada de $y = (7x^5+19)^{100}$. Podemos expressar em linhas gerais como:
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left(~~~\right)^n = n\left(~~~\right)^{n-1}~\frac{d}{dx}\left(~~~\right)
\end{equation}
onde qualquer função derivável de $x$ pode ser inserida nos parênteses. Se denotarmos a função por $u$, a fórmula pode ser escrita como:
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}
\end{equation}

Exemplo $1$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y=(3x^4+1)^7$.

Usando a fórmula $(15)$ e fazendo $u = 3x^4+1$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = 7\left(3x^4+1\right)^{6}~\frac{d}{dx} \left(3x^4+1\right)=7\left(3x^4+1\right)^6\cdot 12x^3
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = (x+x^2-2x^5)^6$.

Usando a fórmula $(15)$ e fazendo $u = x+x-2x^5$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\
\ \\\frac{dy}{dx} = 6\left(x+x^2-2x^5\right)^5 \cdot \frac{d}{dx}\left(x+x^2-2x^5\right)\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = 6\left(x+x^2-2x^5\right)^5 \cdot \left(1+2x-10x^4\right)
\end{equation*}

Exemplo $3$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y=(12-x^2)^{-2}$.

Usando a fórmula $(15)$ e fazendo $u = x+x-2x^5$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = -2 \left(12-x^2\right)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}\left(12-x^2\right)\\
\ \\
\frac{dy}{dx} = -2\left(12-x^2\right)^{-3} \cdot \left(-2x\right) = 4x \left(12-x^2\right)^{-3}
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = \left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^5$.

Neste caso, precisamos aplicar a fórmula $(15)$ duas vezes:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4~\frac{d}{dx}\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]\\
\ \\
= 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4 \cdot 7\left(3x^4+1\right)^6~\frac{d}{dx}\left(3x^4+1\right)\\
\ \\
= 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4 \cdot 7\left(3x^4+1\right)^6 \cdot 12x^3
\end{equation*}

Exemplo $5$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $\displaystyle  y = \left[\frac{(1-2x)}{(1+2x)} \right]^4$

Neste caso, usamos a regra da cadeia e a regra do quociente:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = 4 \left[\frac{(1-2x)}{(1+2x)} \right]^3~\frac{d}{dx}\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)\\
\ \\
= 4\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{(-2)(1+2x)-(1-2x)(2)}{(1+2x)^2}\\
\ \\
= 4 \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{(-2-4x-2+4x)}{(1+2x)^2}\\
\ \\
= 4 \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{-4}{(1+2x)^2}\\
\ \\
= -16\frac{(1-2x)^3}{(1+2x)^5}
\end{equation*}

A regra da cadeia é realmente uma regra para a diferenciação de uma função composta $f \circ g$. Seja $y=f(u)$ e $u=g(x)$, de modo que:
\begin{equation}
y = f(u) = f\left[g(x)\right] = \left(f \circ g\right)(x)
\end{equation}
Desta forma, assumindo que $g$ é diferenciável em $x$ e $f$ é diferenciável em $g(x)$, pela regra da cadeia:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = f^\prime (u) g^\prime (x) = f^\prime \left[g(x)\right] g^\prime (x)
\end{equation}

Se temos uma função composta $f \circ g$, tal que $(f \circ g)(x) = f\left[g(x)\right]$, chamamos $g$ de função interna e $f$ de função externa. Então, podemos estabelecer a regra da cadeia como sendo: a derivada da composta de duas funções é a derivada da função externa tomada no valor da função interna, multiplicada pela derivada da função interna:
\begin{equation}
\left(f \circ g\right)^\prime (x) = f^\prime \left[g(x)\right] g^\prime (x)
\end{equation}

Exemplo $6$:

Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = \text{sen}\left(x^3\right)$

Neste caso, a função externa é a função seno e a função interna é a função $g(x)=x^3$. Temos então que:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} =  \cos \left(x^3\right)~3x^2 = 3x^2\cos\left(x^3\right)
\end{equation*}

Exemplo $7$:

Aplicar a regra da cadeia para provar que se $f=\cos(x)$, então $f^\prime = - \text{sen}(x)$.

Começamos escrevendo a função cosseno em termos de seno:
\begin{equation*}
\cos(x) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\end{equation*}
Neste caso, a função externa é a função seno e a função interna é $\displaystyle g(x) = \frac{\pi}{2}-x$. A derivada da função cosseno é o seno e a derivada da função interna é $g^\prime(x) = -1$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right](-1) = -\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\text{sen}(x)
\end{equation*}

Até o momento consideramos apenas as três variáveis $y$, $u$ e $x$. A regra da cadeia pode ser estendida a mais variáveis. Se adicionarmos uma nova variável $z$, a fórmula dada em $(7)$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
\frac{dy}{dz} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dz}
\end{equation}
onde $y$ depende de $u$, $u$ depende de $x$ e $x$ depende de $z$.

Se adicionarmos uma nova variável $w$, então $z$ dependerá de $w$:
\begin{equation}
\frac{dy}{dw} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dz} \frac{dz}{dw}
\end{equation}
e assim por diante. Isso mostra o quão poderosa é a regra da cadeia no cálculo de derivadas de funções compostas.

Referências:

[1]  Cálculo com geometria analítica V1 - Simmons
[2] Cálculo V1 - Munem-Foulis
[3] A regra da cadeia no Wikipédia

Veja mais:

Leibniz e as diferenciais
Os mitos Leibnizianos a respeitos das curvas diferenciais
Aplicação de derivadas no estudo sobre a reflexão e refração de um raio de luz

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Um comentário:

  1. Olá. Muito bom o artigo. Não conhecia aquela dedução da regra usando épsilon.

    A que eu conhecia era uma que está num antigo livro de segundo grau chamado "Tópicos de Matematica", volume 3.

    A dedução é naquele sistema de divisão mais antiga que se fazia com delta x.

    lim (Dx->0) [f(x+Dx)-f(x)]/Dx , onde Dx quer dizer delta x.

    Não sei fazer o caractere delta por enquanto.

    É mais algébrica e menos intuitiva, mas também dá certo.

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