25 de set de 2016

Resolução da integral $\small \displaystyle \int e^{ax}\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}
onde $a$ $\in \mathbb{R}$ e $a$ $\neq$ $0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int e^{ax}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando $e^{ax}$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=adx$ e $dx = \frac{1}{a}du$.

Assim:
\begin{equation*}
I = \int \frac{e^u}{a}\ du\\
\ \\
I= \frac{1}{a} \int e^u\ du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I  = \frac{e^u}{a} + C
\end{equation*}
Mas $u = ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Calcular a área sob a curva $f(x)=e^{x/4}$ compreendida no intervalo $[0,1]$.



Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limite inferior de integração igual a $0$ e superior igual a $1$. Utilizando o resultado obtido acima, temos que:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 e^{x/4}
\end{equation*}
Resolvendo a integral, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{e^{x/4}}{1/4} \right]_0^1 = \left[ 4\ e^{x/4} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ 4\ e^{1/4} - 4\ e^{0/4} \right] \\
\ \\
A = 4\ e^{1/4} - 4\\
\ \\
A \approx 1,136
\end{equation*}


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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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