15 de abr de 2017

Caten, catenárias em movimento

Caten é uma escultura cinética do artista David Letellier, criada para a igreja de Vieux Saint-Sauveur (Caen, França), um marco do Festival Interstice de $2012$.


Caten é uma escultura em levitação, composta por $300$ finos fios que estão suspensos por meio de duas cordas que se estendem ao longo da nave principal da Igreja.

As cordas e fios são arqueados pela força da gravidade e são controlados por quatro motores que podem variar a configuração dos fios de forma intermitente.


Ao mesmo tempo, Caten toca uma melodia inspirada em salmos religiosos medievais, em particular os primeiros versos de Ut Queant Laxis, um Hino a San Juan Bautista, cujas letras servem ao monge Guido de Arezzo para nomear as notas musicais.

 


A instalação emite uma cadência das quatro primeiras notas da escala, criando uma série de intervalos determinados, mas constantemente reconfigurados de forma aleatória.


O nome desta escultura é inspirado na curva matemática de nome catenária, que é a curva gerada quando um fio homogêneo é suspenso por suas extremidades e submetido à ação da gravidade.



A equação da catenária é dada pela função hiperbólica e sua equivalente exponencial:
\begin{equation*}
y = a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a} \right) = \frac{a}{2} \cdot \left( e^{x/a} + e^{-x/a} \right)
\end{equation*}
O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos $17$ anos de idade, Huygens mostrou em $1646$ de que a conjectura era falsa. Em $1690$, Jakob Bernoulli relançou o problema à comunidade científica. A resolução do problema foi publicada independentemente em $1691$ por Leibniz, Huygens e o próprio Bernoulli.

Uma força aplicada em um ponto qualquer da curva a divide igualmente por todo material. Por isso é usada para a fabricação de materiais como o fundo das latas de refrigerante, iglus e túneis.

Referências:

[1] Caten, catenarias danzando autora: Dra. Marta Macho Stadler
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Catenaria



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1 de abr de 2017

O número de Erdös-Bacon-Sabbath

Paul Erdös nasceu em $23$ de março de $1913$ em Budapeste, Hungria e faleceu a $20$ de setembro de $1996$ em Varsóvia, Polônia.


As contribuições de Erdös para a Matemática são numerosas e variadas. Mas não era um grande teórico, preferia resolver problemas. Acreditava que as sofisticadas teorias matemáticas não podem cobrir toda a matemática, e que há muitos problemas que não podem ser atacados por meio delas, mas que podem ser resolvidos por métodos elementares. Os problemas que mais o atraiam eram problemas de análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Não resolvia problemas de qualquer maneira, queria resolvê-los de uma forma simples e elegante. Para Erdös, a prova tinha que explicar por que o resultado é verdadeiro, e não ser apenas uma sequência de passos sem ajudar a entender o resultado.

Erdös é mais conhecido pela sua capacidade de resolver problemas extraordinariamente difíceis. O seu estilo característico consistia em resolver problemas de uma forma elegante e visionária. Recebeu o Prêmio Cole da Sociedade Americana de Matemática em $1951$ pelos seus muitos artigos em teoria dos números, e em particular pelo artigo "On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem", publicado nos Proceedings of the National Academy of Sciences em $1949$.

Erdös, mais do que qualquer outro, foi creditado por "tornar a Matemática uma atividade social". Entre seus colaboradores mais frequentes estão Yousef Alavi, Béla Bollobás, Fan Chung, Ralph Faudree, Ronald Graham, András Gyárfás, András Hajnal, Eric Milner, János Pach, Carl Pomerance, Richard Rado (Um dos co-autores do famoso Teorema de Erdős-Ko-Rado), Alfréd Rényi, Vojtěch Rödl, Cecil Clyde Rousseau, András Sárközy, Richard Schelp, Miki Simonovitz, Vera Sós, Joel Spencer, Endre Szemerédi, Pál Turán e Peter Winkler.

Erdös era uma fonte constante de aforismos: "Another roof, another proof" ("Um outro teto, uma outra demonstração", tradução livre), "Um matemático é uma máquina para transformar café em teoremas", "Não precisa acreditar em Deus, mas precisa acreditar no Livro" (uma referência a um livro divino hipotético que supostamente contém as demonstrações mais sucintas, elegantes e esclarecedoras para todas as afirmativas matemáticas). Erdös usava o termo "partir" para pessoas que tinham morrido, e o termo "morrer" para pessoas que tinham parado de fazer Matemática. Ele chamava as crianças de "épsilons" e gostava delas.

Erdös recebeu muitos prêmios, incluindo o Prêmio Wolf de Matemática de $1983$. No entanto, devido ao seu estilo de vida, precisava de pouco dinheiro. Por isso ajudou estudantes talentosos e ofereceu prêmios pela resolução de problemas propostos por ele. Morreu em Varsóvia, Polônia a $20$ de setembro de $1996$ e foi sepultado no Cemitério judaico de Rákoskeresztúr.

O Número de Erdös

O Número de Erdös é uma homenagem prestada ao matemático húngaro Paul Erdös, que publicou em toda sua vida, cerca de $1475$ artigos sobre matemática, sendo cerca de $500$ destes em parcerias.



Esse número é recursivamente calculado da seguinte maneira:

▪ Erdös possui o número de Erdös igual a $0$.
▪ Um matemático $M$ possui esse número igual à soma de $1$ com o menor número de Erdös dos matemáticos que escreveram um artigo em parceria com $M$.

Existem $511$ matemáticos com número de Erdös igual a $1$, ou seja, que escreveram artigos em parceria com Erdös. Os matemáticos que escreveram artigos juntamente com estes, possuem esse número igual a $2$, os que escreveram artigos juntamente com estes últimos, possuem o número igual a $3$, e assim por diante.

Aquele(a) que nunca escreveu nenhum artigo com Erdös ou com algum matemático que possua um número de Erdös possui o número de Erdös infinito.

Arthur Avila, medalha Fields $2014$, possui o número de Erdös igual a $3$.

Na prática, o Número de Erdös informa para cada nó em um grafo qual a quantidade mínima de conexões (ou arestas) devem ser utilizadas para navegar de um nó a outro nó específico (chamado de Erdös ou Source).

Número de Erdös-Bacon

No cinema existe o chamado Número de Bacon, que é definido de maneira análoga, de modo a calcular a distância colaborativa no sentido de haver atuado em um filme com o ator Kevin Bacon, simplesmente porque Bacon já protagonizou um grande números de filmes em diferentes gêneros cinematográficos. Calcula-se que haja em torno de $800.000$ pessoas do mundo que tenham um número de Bacon.

O Número de Erdös-Bacon é definido como a soma dos anteriores. Por exemplo: o filosofo Noam Chomsky tem o número de Erdös-Bacon igual a $7$ e a matemática e atriz Danica McKellar tem um número de Erdös-Bacon igual a $6$ (a Winnie Cooper do seriado Anos Incríveis).

Número de Erdös-Bacon-Sabbath

Existe ainda o número de Sabbath, que é a distância colaborativa, de maneira similar aos anteriores, que separa alguém da banda Black Sabbath.

Alguém teve a feliz ideia de definir o Número de Erdös-Bacon-Sabbath, sendo a soma dos três números anteriores. Para ter um número desse tipo é necessário haver publicado um artigo científico, haver atuado em um filme e haver compartilhado um palco musical.

Como exemplo, podemos citar Albert Einstein:

▪ Possui número de Erdös igual a $2$.
▪ Atuou em World Leaders on Peace and Democracy $(1939)$, possuindo um número de Bacon igual a $4$.
▪ Dividiu o palco com o violinista Robert Mann em $1952$, tocando violino em um Quinteto de Mozart em Sol Menor, possuindo assim um número de Sabbath igual a $5$.

Deste modo, Einstein possui um número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $11$.

Outro exemplo é o guitarrista Brian May, possuindo o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $9$.

Stephen Hawking possui o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $8$.

Carl Sagan possui o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $10$.

Richard Feynman possui o número de Erdös-Bacon-Sabbaht igual a $10$.

A Universidade de Oakland, EUA, possui um projeto chamado de Erdös Numer Project, onde podemos ver uma lista de alguns cientistas e matemáticos, laureados por Prêmios Nobels, Medalhas Fields, Prêmios Wolf, entre outros.

O site EBS Project é dedicado ao Número de Erdös-Bacon-Sabbath, contendo uma lista de pessoas e seus respectivos números.

Referências:

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Numero_de_erdos
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Erdos
[3] https://culturacientifica.com/.../el-numero-de-erdos-bacon-sabbath/
[4] http://erdosbaconsabbath.com/albert-einstein/
[5] http://www.nytimes.com/.../a-genius-finds-inspiration...

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10 de jan de 2017

O volume do dodecaedro regular

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. É formado por $12$ faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorrem $3$ faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros.


Primeiramente, vamos determinar a medida da diagonal do pentágono, que é a face do dodecaedro:



Usando semelhança de triângulos na imagem acima, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{CD}{DF} = \frac{AD}{CF} \\
\ \\
\frac{a}{x} = \frac{a + x}{a}\\
\ \\
a^2 = a x + x^2\\
\ \\
x^2 + ax - a^2 = 0
\end{equation*}
Resolvendo esta equação com a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
x = \frac{-a\pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{-a\pm \sqrt{5 a^2}}{2} = \frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{-a+ a\sqrt{5}}{2} \quad \text{ou} \quad x_2 = \frac{-a- a\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}
A única resposta que nos interessa é a raiz $x_1$. Por outro lado, temos que $d=a+ x$, logo:
\begin{equation*}
d = a+ \left(\frac{- a+ a\sqrt{5}}{2}\right)\\
\ \\
d = \frac{2a- a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = \frac{a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = a\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\\
\ \\
d = a\ \varphi
\end{equation*}
onde $\varphi$ é o número de ouro.

A decomposição do dodecaedro pode ser feita em um cubo, cujas arestas são as diagonais dos pentágonos das faces, e por outros $6$ sólidos, conforme a imagem abaixo:



Cada um desses $6$ sólidos são representados como:




Podemos decompor este sólido como mostrado abaixo:



Assim, obtemos um prisma de base triangular e uma pirâmide formada pela justaposição dos sólidos opostos:



Pelas imagens acima, obtemos as relações:
\begin{equation*}
d = a + 2x \Rightarrow 2x = d-a \Rightarrow x = \left(\frac{d-a}{2}\right)
\end{equation*}
Aplicando o teorema de Pitágoras no sólido, obtemos:
\begin{equation}
a^2 = x^2 + \ell ^2\\
\ \\
a^2 =\left(\frac{d-a}{2}\right)^2 + \ell^2
\end{equation}
e
\begin{equation}
\ell^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\\
\ \\
\ell^2 = h^2+ \frac{d^2}{4}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$:
\begin{equation*}
a^2 - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = a^2  - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2= a^2 - \left( \frac{d^2-2ad + a^2}{4} \right) - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{4a^2 - d^2 + 2ad -a ^2 - d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2d^2 + 2ad}{4}\\
\end{equation*}
\begin{equation}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{d(d-a)}{2}
\end{equation}
Como $d=a\ \varphi$, fazemos:
\begin{equation*}
\frac{d(d-a)}{2} = \frac{a\ \varphi (a\ \varphi - 1)}{2} = \frac{a^2\ \varphi (\varphi - 1)}{2}
\end{equation*}
Como $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{a^2}{2} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - a\right) = \frac{a^2}{2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation*}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2a^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{a^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation}
h = \frac{a}{2}
\end{equation}
Agora, podemos calcular os volumes dos sólidos. Vamos calcular o volume do prisma:
\begin{equation*}
V_{Prisma} = \frac{d \cdot h \cdot a}{2} = \frac{\displaystyle a\varphi \cdot \frac{a}{2} \cdot a}{2} = \frac{a^3\ \varphi}{4}
\end{equation*}

Agora, calculamos o volume da pirâmide:
\begin{equation*}
V_{Pirâmide} = \frac{2x \cdot d \cdot h}{3} = \frac{(d-a)\cdot d \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a^3}{6}
\end{equation*}

E por fim, calculamos o volume do cubo:
\begin{equation*}
V_{Cubo} = c^3 = a^3 \varphi^3
\end{equation*}

O volume do dodecaedro $(V_D)$ é dado pela soma do volume do cubo e seis vezes a soma do volume do prisma e da pirâmide:
\begin{equation*}
V_D = a^3 \varphi^3 + 6\left[ \frac{a^3\varphi}{4} + \frac{a^3}{6} \right]\\
\ \\
V_D = a^3\varphi ^3 + 6\left[ \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{12} \right]\\
\ \\
V_D = a^3 \varphi^3 + \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{2a^3\varphi^3 + 3a^3\varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left(2\varphi^3 + 3\varphi + 2 \right)\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 + 3 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 2\left(\frac{16+8\sqrt{5}}{8}\right) + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2 \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 4+2\sqrt{5} + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ \frac{8+4\sqrt{5} + 3 + 3\sqrt{5} + 4}{2} \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{4} \left( 15 + 7\sqrt{5} \right)
\end{equation*}

Exemplo:

Vamos calcular o volume do dodecaedro cuja aresta mede $1\ u.c.$. Aplicando na fórmula, fazemos $a=1$, obtendo:
\begin{equation*}
V_D = \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4} \approx 7,663\ u.v.
\end{equation*}

Referências:

[1] O Volume do dodecaedro regular no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino, revisado e reestruturado por Kleber Kilhian

Veja mais:

A origem do termo Número de Ouro
Demonstração do volume de uma pirâmide
Demonstração do volume da esfera

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