10 de jan de 2017

O volume do dodecaedro regular

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. É formado por $12$ faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorrem $3$ faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros.


Primeiramente, vamos determinar a medida da diagonal do pentágono, que é a face do dodecaedro:



Usando semelhança de triângulos na imagem acima, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{CD}{DF} = \frac{AD}{CF} \\
\ \\
\frac{a}{x} = \frac{a + x}{a}\\
\ \\
a^2 = a x + x^2\\
\ \\
x^2 + ax - a^2 = 0
\end{equation*}
Resolvendo esta equação com a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
x = \frac{-a\pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{-a\pm \sqrt{5 a^2}}{2} = \frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{-a+ a\sqrt{5}}{2} \quad \text{ou} \quad x_2 = \frac{-a- a\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}
A única resposta que nos interessa é a raiz $x_1$. Por outro lado, temos que $d=a+ x$, logo:
\begin{equation*}
d = a+ \left(\frac{- a+ a\sqrt{5}}{2}\right)\\
\ \\
d = \frac{2a- a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = \frac{a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = a\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\\
\ \\
d = a\ \varphi
\end{equation*}
onde $\varphi$ é o número de ouro.

A decomposição do dodecaedro pode ser feita em um cubo, cujas arestas são as diagonais dos pentágonos das faces, e por outros $6$ sólidos, conforme a imagem abaixo:



Cada um desses $6$ sólidos são representados como:




Podemos decompor este sólido como mostrado abaixo:



Assim, obtemos um prisma de base triangular e uma pirâmide formada pela justaposição dos sólidos opostos:



Pelas imagens acima, obtemos as relações:
\begin{equation*}
d = a + 2x \Rightarrow 2x = d-a \Rightarrow x = \left(\frac{d-a}{2}\right)
\end{equation*}
Aplicando o teorema de Pitágoras no sólido, obtemos:
\begin{equation}
a^2 = x^2 + \ell ^2\\
\ \\
a^2 =\left(\frac{d-a}{2}\right)^2 + \ell^2
\end{equation}
e
\begin{equation}
\ell^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\\
\ \\
\ell^2 = h^2+ \frac{d^2}{4}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$:
\begin{equation*}
a^2 - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = a^2  - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2= a^2 - \left( \frac{d^2-2ad + a^2}{4} \right) - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{4a^2 - d^2 + 2ad -a ^2 - d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2d^2 + 2ad}{4}\\
\end{equation*}
\begin{equation}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{d(d-a)}{2}
\end{equation}
Como $d=a\ \varphi$, fazemos:
\begin{equation*}
\frac{d(d-a)}{2} = \frac{a\ \varphi (a\ \varphi - 1)}{2} = \frac{a^2\ \varphi (\varphi - 1)}{2}
\end{equation*}
Como $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{a^2}{2} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - a\right) = \frac{a^2}{2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation*}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2a^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{a^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation}
h = \frac{a}{2}
\end{equation}
Agora, podemos calcular os volumes dos sólidos. Vamos calcular o volume do prisma:
\begin{equation*}
V_{Prisma} = \frac{d \cdot h \cdot a}{2} = \frac{\displaystyle a\varphi \cdot \frac{a}{2} \cdot a}{2} = \frac{a^3\ \varphi}{4}
\end{equation*}

Agora, calculamos o volume da pirâmide:
\begin{equation*}
V_{Pirâmide} = \frac{2x \cdot d \cdot h}{3} = \frac{(d-a)\cdot d \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a^3}{6}
\end{equation*}

E por fim, calculamos o volume do cubo:
\begin{equation*}
V_{Cubo} = c^3 = a^3 \varphi^3
\end{equation*}

O volume do dodecaedro $(V_D)$ é dado pela soma do volume do cubo e seis vezes a soma do volume do prisma e da pirâmide:
\begin{equation*}
V_D = a^3 \varphi^3 + 6\left[ \frac{a^3\varphi}{4} + \frac{a^3}{6} \right]\\
\ \\
V_D = a^3\varphi ^3 + 6\left[ \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{12} \right]\\
\ \\
V_D = a^3 \varphi^3 + \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{2a^3\varphi^3 + 3a^3\varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left(2\varphi^3 + 3\varphi + 2 \right)\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 + 3 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 2\left(\frac{16+8\sqrt{5}}{8}\right) + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2 \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 4+2\sqrt{5} + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ \frac{8+4\sqrt{5} + 3 + 3\sqrt{5} + 4}{2} \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{4} \left( 15 + 7\sqrt{5} \right)
\end{equation*}

Exemplo:

Vamos calcular o volume do dodecaedro cuja aresta mede $1\ u.c.$. Aplicando na fórmula, fazemos $a=1$, obtendo:
\begin{equation*}
V_D = \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4} \approx 7,663\ u.v.
\end{equation*}

Referências:

[1] O Volume do dodecaedro regular no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino, revisado e reestruturado por Kleber Kilhian

Veja mais:

A origem do termo Número de Ouro
Demonstração do volume de uma pirâmide
Demonstração do volume da esfera

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$$a^2+b^2=c^2$$
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