20 de mai de 2017

O problema da Flor de Timaridas

O problema da Flor de Timarida, também conhecida como Epantema, aparece no livro de Howard Eves, Introdução à História da Matemática, página $224$, exercícios $6.12(a)$ e $6.14(c)$. Trata-se de resolver um problema de quantidade, quando uma quantidade particular aparece em mais de uma soma.


Timaridas de Paros $(400-350a.C.)$ foi um matemático grego do século $IV\ a.C.$ e um dos pitagóricos. Embora pouco se sabe sobre a vida de Timaridas, acredita-se que ele fora um homem rico e que caiu na pobreza. Diz-se que Thestor de Poseidonia viajou a Paros a fim ajudar a Timaridas com o dinheiro que foi coletado para ele.

Iamblichus $(245-325)$ afirma que Timaridas chamava os números primos de "retilíneo" uma vez que só pode ser representado em uma linha unidimensional. Os números não-primos, por outro lado, podem ser representados em um plano bidimensional como os lados de um retângulo que, quando multiplicados, produzem o número não-primo em questão. Ele também chamou o número $1$ de "quantidade limitante".

Iamblichus em seus comentários para Introductio arithmetica afirma que Timaridas deu uma regra muito interessante para resolver um caso particular de sistema de $n$ equações com $n$ incógnitas. A regra tornou-se muito conhecida em sua época e recebeu o nome de Flor de Timaridas. Vejamos como esta regra é descrita:

Seja dada uma soma de $n$ quantidades, bem como a soma dos pares que contém uma quantidade particular delas; então, essa quantidade particular é igual a $\displaystyle \frac{1}{n-2}$ vezes a diferença entre a soma de todos os pares e a primeira soma.

Em notação moderna, podemos escrever essa regra como:
\begin{equation*}
x + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} = S\\
\ \\
x + x_1 = m_1\\
\ \\
x + x_2 = m_2\\

\vdots
\ \\
x + x_{n-1} = m_{n-1}
\end{equation*}
e dado por:
\begin{equation*}
x = \frac{\left(m_1 + m_2+ \cdots + m_{n-1}\right)-S}{n-2}
\end{equation*}

Como forma de ilustrar a aplicação desta regra, tomemos o problema a seguir.

Problema $1$:

Problema $6.14(c)$, Eves. Faça uma coroa de ouro, cobre, estanho e ferro pesando $60\ minae$ de modo que o ouro e o cobre juntos constituam $23$ da coroa; o ouro e o estanho, $3/4$; e o ouro e o ferro, $3/5$. Encontre o peso de cada metal necessário para a produzir esta coroa.

Seja o ouro = $O$, o cobre = $C$, o estanho = $E$ e o ferro = $F$. Temos então que:
\begin{equation}
O+C+E+F=60\ minae
\end{equation}
O ouro e o cobre juntos devem constituir $2/3$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+C = \frac{2}{3}\cdot 60 = 40\ minae
\end{equation}
O ouro e o estanho juntos devem constituir $3/4$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+E=\frac{3}{4} \cdot 60 = 45\ minae
\end{equation}
O ouro e o ferro juntos devem constituir $3/5$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+F=\frac{3}{5} \cdot 60 = 36\ minae
\end{equation}
Obtemos de $(1)$, $(2)$, $(3)$ e $(4)$ um sistema de $4$ equações e $4$ incógnitas:
\begin{cases}
O & + & C & + & E & + & F & = & 60\\
O & + & C & & & &&= & 40\\
O & & & + & E&&& = & 45\\
O &&&&&+&F&=&36
\end{cases}
Vamos, então, aplicar a regra da Flor de Timaridas a fim de encontrar a quantidade de ouro e dos outros metais utilizados na produção da coroa.

Primeiramente devemos identificar cada parte do problema e onde aplicar na regra.

O sistema de equações formado é dado por $4$ incógnitas e $4$ equações assim:
\begin{equation}
n= 4
\end{equation}
A primeira soma citada na regra é a soma dada em $(1)$:
\begin{equation}
O+C+E+F=60
\end{equation}
Os pares que contém uma quantidade particular são dados pelas somas $(2)$, $(3)$ e $(4)$, sendo o ouro esta quantidade de metal em comum. Somando todos estes pares, obtemos:
\begin{equation}
40 + 45 + 36 = 121
\end{equation}
Vamos aplicar na regra para obter primeiramente a quantidade de ouro:
\begin{equation*}
O = \frac{1}{n-2} \times \left[ (soma\ dos\ pares) - (primeira\ soma) \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{4-2} \times \left[121 - 60 \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{2} \times 61\\
\ \\
O = \frac{61}{2} = 30,5\ minae\ de\ ouro
\end{equation*}
Mas vamos manter esta quantidade em forma de fração para os próximos cálculos.

Tomando a equação $(2)$, encontramos a quantidade de cobre utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O+C=40\\
\ \\
\frac{61}{2} + C = 40\\
\ \\
C=40 - \frac{61}{2}\\
\ \\
C=\frac{19}{2}\ minae\ de\ cobre
\end{equation*}
Tomando a equação $(3)$, encontramos a quantidade de estanho utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O + E = 45\\
\ \\
\frac{61}{2} + E = 45\\
\ \\
E = 45 - \frac{61}{2}\\
\ \\
E = \frac{29}{2}\ minae\ de\ estanho
\end{equation*}
Tomando a equação $(4)$, encontramos a quantidade de ferro utiizado na coroa:
\begin{equation*}
O + F = 36\\
\ \\
\frac{61}{2} + F = 36\\
\ \\
F = 36 - \frac{61}{2}\\
\ \\
F = \frac{11}{2}\ minae\ de\ ferro
\end{equation*}
Se somarmos todas as quantidades, devemos obter o peso todal da coroa, que é de $60\ minae$:
\begin{equation*}
O + C + E + F = 60\\
\ \\
\frac{61}{2} + \frac{19}{2} + \frac{29}{2} + \frac{11}{2} = 60\\
\ \\
\frac{120}{2} = 60\\
\ \\
60 = 60
\end{equation*}
Como queríamos.

Problema $2$:

Newton $(N)$, Gauss $(G)$ e Euler $(E)$ pesam juntos $232\ kg$. Newton e Gaus pesam juntos $160\ kg$; já Newton e Euler pesam juntos $148\ kg$. Calcular o peso de cada um desses matemáticos.

A partir do enunciado, podemos montar um sistema de equações com $3$ equações e $3$ incógnitas:
\begin{cases}
N & + & G & + & E &  = & 232\\
N & + & G & & &= & 160\\
N & & & + & E& = & 148\\
\end{cases}
Neste caso, temos que $n=3$; a primeira soma é $232$ e a soma dos pares é dada por $160+148=308$. Assim, o peso de Newton será dado po:
\begin{equation*}
N = \frac{1}{3-2} \times (308 - 232)\\
\ \\
N = 76
\end{equation*}
O peso de Gauss será dado por:
\begin{equation*}
N + G = 160\\
\ \\
76 + G = 160\\
\ \\
G = 84
\end{equation*}
E o peso de Euler será dado por:
\begin{equation*}
N+E=148\\
\ \\
76+E=148\\
\ \\
E = 72
\end{equation*}
Assim, os pesos de Newton, Gauss e Euler são $76\ kg$, $84\ kg$ e $72\ kg$, respectivamente.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves, Editora Unicamp

Veja mais:

A regra de sinais, segundo Diofanto
O método da Falsa Posição
Frações unitárias

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9 de mai de 2017

Elon Lages Lima - Nota de falecimento

Morre o matemático Elon Lages Lima, ex-diretor do IMPA, aos $87$ anos, no Rio de Janeiro.

Elon Lages Lima nasceu a $9$ de julho de $1929$ em Maceió, Alagoas, Brasil  e faleceu no Rio de Janeiro, no dia $7$ de maio de $2017$.


Elon Jages Lima foi um matemático, mestre e doutor (PhD) pela Universidade de Chicago, ganhador por duas vezes do Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro e recebedor do Prêmio Anísio Teixeira do Ministério da Educação. Seus trabalhos de pesquisa envolvem topologia diferencial, topologia algébrica, e geometria diferencial. Seu estilo matemático foi fortemente influenciado pelo de Bourbaki.

Um dos mais importantes e prolíficos autores de livros de matemática no país, Elon Lages Lima, ex-diretor do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), morreu numa manhã de domingo, aos $87$ anos, no Rio de Janeiro.

Matemático de ponta, o alagoano Elon deu contribuição fundamental à literatura matemática brasileira, com mais de $40$ livros, e recebeu duas vezes o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas, da Câmara Brasileira do Livro. Ele também desempenhou o papel de mentor e inspirador de jovens matemáticos de grande destaque no país, como o ganhador da Medalha Fields Artur Avila, Carlos Gustavo Moreira, o Gugu (ambos do IMPA), Ralph Teixeira (UFF) e Nicolau Saldanha (PUC-Rio), entre outros.

"Eu era aluno de graduação, em Portugal, quando ouvi falar de Elon pela primeira vez, por meio de seus livros. Ninguém, nos dois países, contribuiu como ele para a criação de uma literatura matemática em língua portuguesa", afirmou o diretor-geral do IMPA, Marcelo Viana. Para o ex-diretor do IMPA Jacob Palis, Elon "foi um excelente matemático, escritor e didata". "Ele deu uma contribuição muito grande ao IMPA, desde o início, integrando um grupo pequeno e de alta qualidade."

Membro titular da Academia Brasileira de Ciências desde 1963, foi diretor do IMPA em três períodos $(1969-71, 79-80$ e $1989-93)$, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática $(1973-75)$ e integrou o Conselho Nacional de Educação e o Conselho Superior da Faperj. Recebeu a Ordem do Mérito Científico na Classe Grã-Cruz, da Presidência da República, e o Prêmio Anísio Teixeira, do MEC.

O jovem Elon fez sua formação inicial no Ceará e no Rio de Janeiro. Ao chegar ao Rio, presenciou a fundação do IMPA, por Leopoldo Nachbin e Maurício Matos Peixoto. Obteve os graus de mestrado e doutorado na prestigiosa Universidade de Chicago, onde especializou-se em Topologia Algébrica, entre $1954$ e $1958$, e recebeu o Prêmio Edna M. Allen.

Após voltar ao Brasil, tornou-se pesquisador do IMPA. Com uma bolsa Guggenheim, esteve em Princeton e Columbia e foi influenciado pelo norte-americano Stephen Smale, ganhador da medalha Fields. Nessa época, obteve resultados pioneiros no campo de vetores comutativos. Foi professor da UnB, de onde pediu demissão em $1965$, após o início do Regime Militar. Foi Elon que abriu o caminho para outros pesquisadores do IMPA, como Jacob Palis e César Camacho, serem orientados por Smale - hoje pesquisador honorário do IMPA.

Além de pesquisador de alto nível, Elon sempre compreendeu a importância da divulgação da Matemática e da formação de professores, áreas em que desempenhou um papel de protagonista nacional. Colaborou para estruturar os cursos de licenciatura, bacharelado e pós-graduação Universidade Federal do Ceará, de onde recebeu, em $89$, o título de Professor Honoris Causa. Ele também era doutor Honoris Causa da Universidade Federal de Alagoas.

Idealizou e dirigiu as coleções "Projeto Euclides" e "Coleção Matemática Universitária" e foi o criador, em $1990$, do PAPMEM (Programa de Formação e Aperfeiçoamento de Professores do Ensino Médio), que continua ativo e já beneficiou mais de $20$ mil professores do país. Talvez porque tenha sido justamente na Educação Básica o início de sua brilhante trajetória de matemático, como professor, aos $18$ anos, no Ginásio Farias Brito e no Colégio Estadual do Ceará.

Elon era casado com Carolina Celano e tinha cinco filhas da primeira união, com Valdece. Foi sepultado às 16h desta segunda-feira $(8)$, no Cemitério da Penitência, no Caju.

Livros:

Álgebra Exterior
Álgebra Linear
Análise Real, vols. 1, 2 e 3
Análise em Rn
Cálculo Tensorial
Coordenadas no Espaço
Coordenadas no Plano
Curso de Análise, vols. 1 e 2
Elementos de Topologia Geral
Introdução à Topologia Diferencial
Espaços Métricos
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento
Homologia Básica
Variedades Diferenciáveis
Isometrias
Logaritmos
Meu Professor de Matemática e Outras Histórias
Medida e Forma Em Geometria Comprimento, área, Volume e Semelhança
Temas e problemas
A Matemática do Ensino Médio
Matemática e Ensino

Notas:

▪ Uma nota de pesar pode ser lida no site do IMPA.

▪ Postagem sobre seu falecimento pode ser lida também no Facebook.

▪ A SMB publicou em sua página um depoimento do Professor Jonas Gomes.

Referências:

[1] IMPA - Nota de pesar
[2] SMB - Depoimento do Professor Jonas Gomes
[3] https://pt.wikipedia.org/wiki/Elon_Lages_Lima

6 de mai de 2017

06 de Maio - Dia Nacional da Matemática

O Dia Nacional da Matemática é comemorado hoje, dia $06$ de maio. A data foi escolhida para homenagear Malba Tahan, pseudônimo do professor de Matemática Julio César de Mello e Souza, que nasceu no Rio de Janeiro, em $1895$, e faleceu em $1974$, no Recife, aos $79$ anos.


Autor de mais de uma centena de livros, escreveu sobre Matemática Recreativa, Didática da Matemática, História da Matemática e Literatura Infanto-juvenil. Seus livros ensinam conceitos de Matemática e mostram que a disciplina pode ser uma divertida e desafiante aventura quando estudada de forma dinâmica e criativa. Daí ele ter recorrido a aventuras misteriosas, com beduínos, xeiques, vizires, magos, princesas e sultões. Sua obra mais famosa é "O Homem que Calculava", que foi traduzido para doze idiomas.

A data foi instituída em $2004$, pelo projeto de Lei nº $3.482/2004$, de autoria da deputada professora Raquel Teixeira e foi aprovada por unanimidade pela Comissão de Educação e Cultura. Desde $2008$ encontra-se na Comissão de Constituição e Justiça para homologação final que institui o dia $06$ de maio como o Dia Nacional da Matemática.

Veja mais:

O peso de uma distância
A pirâmide humana de Newton
As nove multiplicações com os 9 algarismos

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