10 de jan de 2017

O volume do dodecaedro regular

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. É formado por $12$ faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorrem $3$ faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros.


Primeiramente, vamos determinar a medida da diagonal do pentágono, que é a face do dodecaedro:



Usando semelhança de triângulos na imagem acima, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{CD}{DF} = \frac{AD}{CF} \\
\ \\
\frac{a}{x} = \frac{a + x}{a}\\
\ \\
a^2 = a x + x^2\\
\ \\
x^2 + ax - a^2 = 0
\end{equation*}
Resolvendo esta equação com a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
x = \frac{-a\pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{-a\pm \sqrt{5 a^2}}{2} = \frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{-a+ a\sqrt{5}}{2} \quad \text{ou} \quad x_2 = \frac{-a- a\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}
A única resposta que nos interessa é a raiz $x_1$. Por outro lado, temos que $d=a+ x$, logo:
\begin{equation*}
d = a+ \left(\frac{- a+ a\sqrt{5}}{2}\right)\\
\ \\
d = \frac{2a- a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = \frac{a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = a\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\\
\ \\
d = a\ \varphi
\end{equation*}
onde $\varphi$ é o número de ouro.

A decomposição do dodecaedro pode ser feita em um cubo, cujas arestas são as diagonais dos pentágonos das faces, e por outros $6$ sólidos, conforme a imagem abaixo:



Cada um desses $6$ sólidos são representados como:




Podemos decompor este sólido como mostrado abaixo:



Assim, obtemos um prisma de base triangular e uma pirâmide formada pela justaposição dos sólidos opostos:



Pelas imagens acima, obtemos as relações:
\begin{equation*}
d = a + 2x \Rightarrow 2x = d-a \Rightarrow x = \left(\frac{d-a}{2}\right)
\end{equation*}
Aplicando o teorema de Pitágoras no sólido, obtemos:
\begin{equation}
a^2 = x^2 + \ell ^2\\
\ \\
a^2 =\left(\frac{d-a}{2}\right)^2 + \ell^2
\end{equation}
e
\begin{equation}
\ell^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\\
\ \\
\ell^2 = h^2+ \frac{d^2}{4}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$:
\begin{equation*}
a^2 - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = a^2  - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2= a^2 - \left( \frac{d^2-2ad + a^2}{4} \right) - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{4a^2 - d^2 + 2ad -a ^2 - d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2d^2 + 2ad}{4}\\
\end{equation*}
\begin{equation}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{d(d-a)}{2}
\end{equation}
Como $d=a\ \varphi$, fazemos:
\begin{equation*}
\frac{d(d-a)}{2} = \frac{a\ \varphi (a\ \varphi - 1)}{2} = \frac{a^2\ \varphi (\varphi - 1)}{2}
\end{equation*}
Como $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{a^2}{2} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - a\right) = \frac{a^2}{2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation*}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2a^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{a^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation}
h = \frac{a}{2}
\end{equation}
Agora, podemos calcular os volumes dos sólidos. Vamos calcular o volume do prisma:
\begin{equation*}
V_{Prisma} = \frac{d \cdot h \cdot a}{2} = \frac{\displaystyle a\varphi \cdot \frac{a}{2} \cdot a}{2} = \frac{a^3\ \varphi}{4}
\end{equation*}

Agora, calculamos o volume da pirâmide:
\begin{equation*}
V_{Pirâmide} = \frac{2x \cdot d \cdot h}{3} = \frac{(d-a)\cdot d \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a^3}{6}
\end{equation*}

E por fim, calculamos o volume do cubo:
\begin{equation*}
V_{Cubo} = c^3 = a^3 \varphi^3
\end{equation*}

O volume do dodecaedro $(V_D)$ é dado pela soma do volume do cubo e seis vezes a soma do volume do prisma e da pirâmide:
\begin{equation*}
V_D = a^3 \varphi^3 + 6\left[ \frac{a^3\varphi}{4} + \frac{a^3}{6} \right]\\
\ \\
V_D = a^3\varphi ^3 + 6\left[ \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{12} \right]\\
\ \\
V_D = a^3 \varphi^3 + \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{2a^3\varphi^3 + 3a^3\varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left(2\varphi^3 + 3\varphi + 2 \right)\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 + 3 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 2\left(\frac{16+8\sqrt{5}}{8}\right) + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2 \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 4+2\sqrt{5} + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ \frac{8+4\sqrt{5} + 3 + 3\sqrt{5} + 4}{2} \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{4} \left( 15 + 7\sqrt{5} \right)
\end{equation*}

Exemplo:

Vamos calcular o volume do dodecaedro cuja aresta mede $1\ u.c.$. Aplicando na fórmula, fazemos $a=1$, obtendo:
\begin{equation*}
V_D = \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4} \approx 7,663\ u.v.
\end{equation*}

Referências:

[1] O Volume do dodecaedro regular no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino, revisado e reestruturado por Kleber Kilhian

Veja mais:

A origem do termo Número de Ouro
Demonstração do volume de uma pirâmide
Demonstração do volume da esfera

Imprimir


30 de dez de 2016

Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2016$

O blog O Baricentro da Mente, desde sua criação em novembro de $2008$, chegou à marca de $5,3$ milhões de visualizações neste mês de dezembro.


Neste ano de $2016$  o blog teve cerca de $1.300.000$ páginas visualizadas, $10\%$ a mais que o ano anterior (obrigado!), cerca de $250$ comentários e inúmeros e-mails e mensagens pelo formulário de contato. Essas visualizações foram distribuídas nos $472$ artigos contidos no blog, sendo $14$ (apenas) publicados em $2016$.

A fã-page no Facebook, atualmente está com $20.000$ seguidores, sendo que $8.000$ novas curtidas da página foram em $2016$.

Faremos uma retrospectiva de ano destacando os $10$ artigos mais acessados.


$1º$ Lugar: Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $n$ lados

Total de visualizações: $48.200$
Link do artigo: http://bit.ly/NumeroDiagonaisPoligono

$2º$ Lugar: Como determinar o ângulo interno de um polígono regular

Total de visualizações: $44.500$
Link do artigo: http://goo.gl/5Svm8L

$3º$ Lugar: Método de integração por substituição

Total de visualizações: $27.900$
Link do artigo: https://goo.gl/myqjK8

$4º$ Integração por frações parciais - Parte $1$ - Fatores lineares

Total de visualizações: $25.100$
Link do artigo: https://goo.gl/PVsvYu

$5º$ Lugar: Aplicação de derivada para determinação de máximos e mínimos

Total de visualizações: $22.000$
Link do artigo: http://goo.gl/dz3U2X

$6º$ Lugar: Pontos notáveis de um triângulo

Total de visualizações: $21.000$
Link do artigo: http://goo.gl/tgjHtf

$7º$ Lugar: Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Total de visualizações: $19.000$
Link do artigo: https://goo.gl/6iLC7q

$8º$ Lugar: Fórmula para calcular o tamanho do sapato

Total de visualizações: $17.300$
Link do artigo: http://goo.gl/IwFR86

$9º$ Lugar: Integração por substituição trigonométrica

Total de visualizações: $12.600$
Link do artigo: http://goo.gl/TaMSqc

$10º$ Lugar: Em quanto tempo a luz do Sol atinge a Terra?

Total de visualizações: $11.300$
Link do artigo: https://goo.gl/BstHWF


Veja mais:

Arquivo do blog por ordem de publicação
Arquivo do blog por categorias
Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2015$
Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2014$

Imprimir


7 de dez de 2016

Derivada, usando a definição de limite



O que diz?

Encontrar a taxa de variação instantânea de uma grandeza que varia com o tempo, calcular como seu valor varia em um breve intervalo de tempo e dividi-lo pelo tempo em questão. E então fazer com que esse intervalo se torne tão pequeno quando se queira.

Por que é importante?

Fornece uma base rigorosa para o cálculo, o meio mais importante que os cientistas usam para modelar o mundo natural.

Qual foi a consequência?

O cálculo de tangentes e áreas. Fórmulas para volumes de sólidos e comprimentos de curvas. As leis do movimento de Newton, equações diferenciais. A lei da conservação da energia e da quantidade de movimento. A maior parte da física matemática.

Referências:

[1] 17 Equações Que Mudaram o Mundo – Ian Stewart

Veja mais:

Diferenciação implícita
Algumas observações sobre a notação de derivada
Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos

Imprimir


4 de dez de 2016

O duelo de Galois

Durante a madrugada inteira de $30$ de maio de $1832$, o matemático francês Évariste Galois escreveu, escreveu e escreveu. Nas margens do caderno, como um símbolo de seu desespero, anotou: “Não tenho tempo, não tenho tempo”. Ele sabia que estaria morto antes de o Sol nascer, provavelmente com um tiro na testa. Tinha apenas $20$ anos, mas muita coisa a dizer. Especialmente sobre os números que vinha rabiscando de maneira confusa desde os $16$. Equações incompreensíveis na opinião de alguns célebres matemáticos, talvez equivocadas.


Doze anos depois, os rascunhos – e as anotações insanas daquela noite – foram finalmente examinados. O rapazote Galois era um gênio! Sua complexa teoria de grupos abria todo um novo campo para a álgebra. Algo que no século seguinte seria fundamental para o desenvolvimento dos computadores, por exemplo.

Mas em $1832$ nada disso parecia possível. O jovem Évariste estava atolado até o pescoço em uma confusão dos diabos. Ou melhor, diversas confusões. A escalada começou em $1829$, com o suicídio inesperado de seu pai após uma briga feia com inimigos monarquistas. O país estava dividido em facções apaixonadas, opondo católicos a protestantes, republicanos a monarquistas, e Galois resolvera ser republicano até a morte.

Tanto que se envolveu em uma bela enrascada ao fugir da escola para participar das manifestações contra a posse do rei Luís Felipe, em $1830$. Foi expulso e nem se abalou: alistou-se imediatamente na Guarda Nacional, logo desativada por decreto real. Um ano depois foi preso por ameaça ao rei: brandira sua espada numa reunião de republicanos. Ainda voltou à cadeia por usar o uniforme da proscrita Guarda Nacional.

Pior que sua sorte na política, só mesmo na academia. Imberbe, tentava provar que tinha algo a dizer sobre equações. Aos $16$ e aos $18$, tentou sem sucesso entrar na Escola Politécnica, onde circulavam os principais matemáticos franceses da época. A Academia de Ciências fez pior: perdeu duas vezes o relatório com as descobertas de Galois e, quando colocou a mão na terceira versão, reprovou o rapaz. Os juízes simplesmente não entenderam suas ideias e não acreditaram nos resultados registrados.

Enfim, em março de $1832$, o caos político em Paris misturou-se ao pesadelo de uma epidemia de cólera e Galois deu seu último passo torto. Apaixonou-se pela filha de um médico, Stéphanie-Félicie du Motel, que não correspondia ao seu sentimento – e tinha outro pretendente. Bom de gatilho, Pescheux d’Herbinville.

Poucos detalhes sobraram dessa tragédia francesa. O próprio Galois tentou fazer parecer que se tratou de um conluio político para eliminá-lo. Mas também deu a entender que a discussão com o desafiante para um duelo pode ter girado em torno de Stéphanie. Em seus rabiscos aflitos, Évariste a chama de prostituta e deplora a trágica estupidez de ter se envolvido num combate de vida ou morte.

O que se sabe é que na manhã daquela quarta-feira, $30$ de maio de $1832$, Galois foi defender sua honra. Escolheu uma das pistolas, deu $25$ passos, virou-se e... tomou o esperado balaço no estômago. Agonizou no hospital até o dia seguinte. Antes de morrer teria dito a seu irmão: "Não chore, preciso de toda a minha coragem para morrer aos vinte anos". E morreu sem saber que, deixando um legado de apenas $60$ páginas de garranchos, viria a ser considerado não só um dos mais criativos pensadores que a ciência já teve, mas uma das pedras fundamentais na evolução da matemática.

Referências:

[1] Revista Super

Veja mais:

Períodos matemáticos
Emmy Noether e a Álgebra moderna
Teorema da decomposição de polinômios

Imprimir


25 de set de 2016

Resolução da integral $\small \displaystyle \int e^{ax}\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}
onde $a$ $\in \mathbb{R}$ e $a$ $\neq$ $0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int e^{ax}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando $e^{ax}$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=adx$ e $dx = \frac{1}{a}du$.

Assim:
\begin{equation*}
I = \int \frac{e^u}{a}\ du\\
\ \\
I= \frac{1}{a} \int e^u\ du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I  = \frac{e^u}{a} + C
\end{equation*}
Mas $u = ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{e^{ax}}{a} + C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Calcular a área sob a curva $f(x)=e^{x/4}$ compreendida no intervalo $[0,1]$.



Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limite inferior de integração igual a $0$ e superior igual a $1$. Utilizando o resultado obtido acima, temos que:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 e^{x/4}
\end{equation*}
Resolvendo a integral, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{e^{x/4}}{1/4} \right]_0^1 = \left[ 4\ e^{x/4} \right]_0^1\\
\ \\
A = \left[ 4\ e^{1/4} - 4\ e^{0/4} \right] \\
\ \\
A = 4\ e^{1/4} - 4\\
\ \\
A \approx 1,136
\end{equation*}


Imprimir


Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

Imprimir


20 de ago de 2016

Sudoku matemático #1

O jogo Sudoku é um quebra-cabeça baseado no posicionamento lógico dos números de $1$ a $9$ em uma grade $9 \times 9$, subdividida em grades $3 \times 3$. Os números devem ser distribuídos de tal forma que os algarismos de $1$ a $9$ apareçam em cada subgrade e em cada fileira (linhas e colunas), sem repeti-los.

O Sudoku apresentado abaixo é uma "versão matemática" do quebra-cabeça. Apesar de utilizar números, o Sudoku não requer o desenvolvimento de aritmética ou álgebra para sua solução. Já nesta versão matemática é necessário sim prévios conhecimentos de Matemática, que variam desde Aritmética simples a conhecimentos de Trigonometria e Cálculo Diferencial e Integral.


Solução: clique aqui.

O puzzle foi projetado por Howard Garns, um arquiteto aposentado de $74$ anos de idade e construtor independente de puzzles, baseando-se, provavelmente, no quadrado latino, uma construção matemática criada pelo suíço Leonhard Euler no século $XVIII$. Garns adicionou ao quadrado latino a sua nova criação como uma grade parcialmente preenchida onde o solucionador deveria preencher os demais quadros vazios. As primeiras publicações do sudoku ocorreram nos Estados Unidos no final dos anos $1970$ na revista norte-americana Math Puzzles and Logic Problems, da editora Dell Magazines, especializada em desafios e quebra-cabeças. A editora deu, ao jogo, o nome de Number Place, que é usado até hoje nos Estados Unidos.

Em $1984$, a Nikoli, maior empresa japonesa de quebra-cabeças, descobriu o jogo e decidiu levá-lo àquele país. O nome sudoku é a abreviação japonesa para a longa frase suuji wa dokushin ni kagiru (数字は独身に限る) que significa "os dígitos devem permanecer únicos" e é uma marca registrada da Nikoli. Em japonês, a palavra é pronunciada [sɯːdokɯ]; em português, pronuncia-se sudoku. Em $1986$, depois de alguns aperfeiçoamentos no nível de dificuldade e na distribuição dos números, o sudoku tornou-se um dos jogos mais vendidos do Japão, onde os jogos numéricos são mais populares que palavras-cruzadas e caça-palavras, que não funcionam muito bem na língua japonesa. Outras editoras japonesas que lançaram o produto referem-se ao jogo como colocando os números, ou como "Nanpure". Algumas editoras não japonesas soletram o título como "su doku".

Apesar de toda a popularidade no Japão, o sudoku não conseguiu atrair a mesma atenção no Ocidente até o fim de $2004$, quando Wayne Gould, um juiz aposentado de Hong Kong, que também era fã de quebra-cabeças e programador de computador, viajou a Londres para convencer os editores do The Times a publicar o sudoku. Gould havia criado um programa de computador que gerava jogos de sudoku com vários níveis de dificuldade e não estava cobrando nada por ele. O Times decidiu arriscar e no dia $12$ de novembro de $2004$ publicou seu primeiro sudoku.

No Brasil, o sudoku é publicado pelas Revistas Coquetel (Ediouro) desde o setembro de $2005$. No ano seguinte, a Editora JBC lançou um manual de como jogar Soduku em mangá (nome dado aos quadrinhos japoneses) intitulado Sudoku & Mangá, roteirizado por Jay Morrison e ilustrado por Atsuhisa Okura. Em Portugal, ele começou a ser publicado em maio de $2005$ pelo jornal Público. Atualmente, com o avanço das tecnologias, o Suduku também se popularizou em aplicativos de celular. (Wikipédia)

Veja mais:

O problema dos quadrados mágicos
O cálculo no Japão
Números perigosos

Imprimir


Redes Sociais

Arquivo do Blog