A Equação da Elipse

A elipse é uma figura geométrica obtida a partir de uma secção de um cone. Quando um plano secciona uma superfície cônica formando uma figura fechada, esta recebe o nome de elipse. Se o plano for paralelo à base do cone, a elipse se degenera em um círculo. Se o plano seccionar o cone em seu vértice, a elipse se degenera em um ponto.

A elipse também é representada algebricamente no plano cartesiano através de uma equação. Este artigo traz a definição, elementos da elipse e a demonstração de sua equação.

Consideremos num plano, dois pontos $F_1$ e $F_2$ distantes um do outro por $2c>0$ e seja $a>c$.

Definição:

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Dá-se o nome de elipse ao conjunto dos pontos $P$ pertencentes ao plano, tais que:
$$\begin{equation} d(P,F_1) + d(P,F_2)=2a \end{equation}$$

Elementos da elipse:

Os elementos de uma elipse são:

Foco: São os pontos $F_1$ e $F_2$;

Distância focal: É a distância $2c$ entre os pontos;

Centro: É o ponto médio $C$ do segmento $\overline{F_1F_2}$;

Eixo maior: É o segmento $\overline{A_1A_2}$ de comprimento $2a$ (o segmento $\overline{A_1A_2}$ contém os focos e os seus eixos extremos);

Eixo menor: É o segmento $\overline{B_1B_2}$ de comprimento $2b$ (o segmento $\overline{B_1B_2}$ é ortogonal ao segmento $\overline{A_1A_2}$ no ponto $C$;

Vértices: São os pontos $A_1$, $A_2$, $B_1$ e $B_2$;

Excentricidade: A excentricidade $e$ exprime o "achatamento" da elipse e é dada por:
$$\begin{equation*} e=\frac{c}{a} \end{equation*}$$

Em toda a elipse vale a relação pitagórica:

$$\begin{equation} a^2=b^2+c^2 \end{equation}$$

Equação da elipse:

Seja $P(x,y)$ um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$. Temos que:

$$\begin{equation} d(P,F_1)=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \end{equation}$$
e
$$\begin{equation} d(P,F_2)=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{equation}$$
Pela equação $(1)$, temos que:
$$\begin{equation*} d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a \end{equation*}$$

Substituindo $(3)$ e $(4)$ na relação acima, obtemos:

$$\begin{equation*} \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a\\ \ \\ \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \end{equation*}$$

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

$$\begin{equation*} (x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2\\ \ \\ x^2+2xc+c^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2\\ \ \\ 4xc=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{equation*}$$

Dividimos ambos os lados por $4$:

$$\begin{equation*} cx=a^2-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \ \\ cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \ \\ a^2-cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{equation*}$$

Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:

$$\begin{equation*} a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2\left[(x-c)^2+y^2\right]\\ \ \\ a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\ \ \\ a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\\ \ \\ a^4+c^2x^2=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\\ \ \\ a^4+c^2x^2-a^2x^2=a^2c^2+a^2y^2\\ \ \\ a^4+x^2(c^2-a^2)=a^2c^2+a^2y^2\\ \ \\ x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2c^2-a^4 \end{equation*}$$
Multiplicando por $-1$:
$$\begin{equation*} x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^4-a^2c^2\\ \ \\ x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \end{equation*}$$
Dividindo ambos os lados por $a^2(a^2-c^2)$:
$$\begin{equation*} \frac{x^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)} + \frac{a^2y^2}{a^2(a^2-c^2)} = \frac{a^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)} \end{equation*}$$
$$\begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \end{equation}$$
Da relação $(2)$, temos:
$$\begin{equation} b^2=a^2-c^2 \end{equation}$$
Substituindo $(6)$ em $(5)$:
$$\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{equation}$$
Que é a equação reduzida da elipse.

Comprimento da elipse:

Ao contrário da circunferência, a elipse não possui uma fórmula fechada para calcular seu comprimento. Para tanto, existem fórmulas que aproximam seu comprimento com relativa precisão.

$$L \approx \pi \ a \left( 2 - \frac{e^2}{2}-\frac{3e^4}{32}-\frac{5e^6}{128} \right)$$
Veja este artigo sobre Uma fórmula para o comprimento da elipse.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/Equacao-Elipse
• https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/equacao-da-elipse.html

Referências:

• Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle

Veja mais:

• A Equação da Hipérbole
• Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso
• Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
• Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso