5 de ago de 2012

Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular

Na reta real, podemos representar geometricamente um número real como um ponto. Convencionando que a reta é crescente da esquerda para a direita, podemos representar dois números arbitrários quaisquer:

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Temos representado os números a e b tal que a < b. Isso quer dizer que o número a está posicionado à esquerda de b; equivalentemente, b > a e significa que b está à direita de a. Um número a é positivo se a > 0 ou negativo se a < 0.

Algumas regras utilizadas no trabalho com desigualdades são:

1) Se a > 0 e b < c, então ab < ac;

2) Se a < 0 e b < c, então ab > ac;

3) Se a < b, então a + c < b + c para qualquer c.

Para um número a que é positivo ou igual a zero, escrevemos a ≥ 0 e para um número a que é negativo ou igual a zero, escrevemos a ≤ 0. Assim, podemos escrever que ab ou b ≤ a.

O valor absoluto ou módulo de um número a é denotado por |a| e podemos defini-lo como:

Definição: Se a é um número real, então o valor absoluto de a é definido por:

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Por exemplo, |7| = 7 porque 7 ≥ 0; |0| = 0 porque 0 ≥ 0 e |–3| = –(–3) = 3 porque –3 < 0.

Observamos que o valor absoluto de um número real é sempre não-negativo. Geometricamente, o valor absoluto de um número real a é a distância entre um ponto A e a origem O, não importando se está à direita ou à esquerda de O. Se A e B são dois pontos genéricos na reta real, cujas coordenadas são a e b respectivamente, então a distância entre os pontos A e B é dada por |a – b|. Por exemplo, a distância entre os pontos A = –2 e B = 5 é dada por:

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Genericamente, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro para qualquer número real x.

Se x ≥ 0, então |x| = x, assim x ≤ 0 é verdadeiro. Da mesma forma, se x ≥ 0, então –|x| = –x ≤ 0 ≤ x, assim –|x| ≤ 0 é verdadeiro. Logo, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro se x ≥ 0.

Por outro lado, se x < 0, então |x| = –x, assim –|x| = x < 0 < –x = |x|. Portanto, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro se x < 0.

Uma das mais importantes propriedades do valor absoluto é a desigualdade triangular.

Teorema: Se a e b são números reais, então |a + b| ≤ |a| + |b|.

Da generalização anterior, temos que –|a| ≤ a ≤ |a| assim como –|b| ≤ b ≤ |b|. Se somarmos membro a membro, obtemos:

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Se a + b ≥ 0, então |a + b| = a + b ≤ (|a| + |b|). Se a + b < 0, então |a + b| = –(a + b) ≤ (|a| + |b|). Em ambos os casos |a + b| ≤ |a| + |b|.

A desigualdade triangular nos números reais é uma analogia ao caso da geometria plana onde diz que a medida de qualquer um dos lados de um triângulo é menor que a soma dos outros dois.

Exemplo: Mostrar usando a desigualdade triangular que |a – b| ≤ |a| + |b| para quaisquer números reais a e b.

Utilizando a desigualdade triangular e o fato que –|b| = |b|, temos:

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Algumas outras propriedades do valor absoluto.

Sejam x e y números reais:

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Referências

[1] Cálculo V1 – Munem–Foulis, Editora Guanabara Dois
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons, Editora McGraw Hill


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A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
A Desigualdade de Weitzenbock
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Veja mais:

Teorema da Base Média de um Triângulo
O Teste da Integral para Convergência de Séries
Como Determinar o Ângulo Interno de um Polígono Regular

8 comentários:

  1. O conceito de valor absoluto na reta real é muito importante. Podemos citar por exemplo, as demonstrações sobre as propriedades de limites envolvem as desigualdades listadas acima, especialmente a desigualdade triangular. Parabéns pelas postagem e obrigado pela citação dos links.

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  2. Obrigado Paulo. Quando estava lendo sobre essa desigualdade, lembrei de um post que vocÊ tinha feito sobre a desigualdade de Cauchy. Achei que ficaria interessante. Que com que gostou.

    Um abraço.

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  3. Muito bom. Foi exposto de uma forma simples e bem objetivo.
    As propriedades aqui colocadas são extremamente importantes.
    Abraços.

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  4. Olá Diogo, obrigado pelo comentário. Às vezes postagens simples podem ser extremamente interessantes. Para isso temos que ser o mais didático possível.

    Um abraço!

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  5. Muito bom, só tem um erro de digitação no exemplo, lá está como -|b| mas na verdade é |-b|

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  6. Ótimo artigo!

    Estou referenciando ele na minha aula 3 do curso: Como aprender cálculo diferencial e integral. Vai ser de grande ajuda para os leitores...

    Att. Romirys Cavalcante

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  7. Não entendi a parte "Se x ≥ 0, então |x| = x, assim x ≤ 0 é verdadeiro. Da mesma forma, se x ≥ 0, então –|x| = –x ≤ 0 ≤ x, assim –|x| ≤ 0 é verdadeiro. Logo, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro se x ≥ 0."

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    Respostas
    1. Perceba que essa parte se relaciona diretamente com a frase anterior: "Genericamente, –|x| ≤ x ≤ |x| é verdadeiro para qualquer número real x."

      Se x ≥ 0, é claro que o módulo de x será igual a x. Isso também ocorre quando x ≤ 0: o módulo de x negativo é igual a x, que é maior que o módulo negativo de x negativo. Isto é: –|–x| ≤ x ≤ |–x|.

      O módulo negativo de x resulta em –x (isso ocorre quando o sinal tá fora do módulo), e –x é menor que x (ou pode ser igual a x quando x = 0). Isso também ocorre quando –|x| ≤ 0, por tabela.

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