12 de jan de 2013

Retificação da Circunferência (Parte 6) – Método de Specht

Wilhelm Otto Ludwing Specht (1907-1985) foi um matemático alemão que desenvolveu uma construção geométrica que aproxima a retificação da circunferência com uma precisão de 5 casas decimais.

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Construção:

1) Descreva uma circunferência de raio R e de centro O.

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2) Trace o diâmetro vertical AB prolongando na direção de B.

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3) Trace uma perpendicular por B.

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4) Descreva um arco de raio AB e marque o ponto C na intersecção com a perpendicular.

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5) Divida o raio AO em cinco partes iguais.

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6) Com centro em C, descreva um arco de raio igual a 1/5 do raio AO e marque o ponto D na perpendicular.

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7) Com centro em D, descreva um arco de raio igual a 2/5 do raio AO e marque o ponto E na perpendicular.

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8) Com centro em A e raio OD, marque o ponto F no prolongamento do diâmetro AB.

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9) Una os pontos OE e trace uma paralela a OE que passe por F, marcando o ponto G na intersecção com a perpendicular.

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10) O segmento AG é a aproximação da circunferência retificada.

Demonstração:

De acordo com a construção, o segmento AG aproxima a circunferência. Para sua determinação, podemos utilizar semelhança de triângulos, onde:

clip_image002

Assim, temos a relação:

clip_image002[4]

A medida AE é dada por:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

clip_image002[10]

A medida AF = OD e a medida OD é dada por:

clip_image002[12]

clip_image002[14]

clip_image002[16]

clip_image002[18]

clip_image002[20]

clip_image002[22]

Aplicando os valores encontrados em (2) e (3) na relação (1), obtemos:

clip_image002[24]

clip_image002[26]

clip_image002[28]

Que podemos escrever como:

clip_image002[30]

Se o raio da circunferência é unitário, então o segmento AG aproxima a circunferência com cinco casas decimais corretas:

clip_image002[32]

Que nos remete a uma aproximação de π a:

clip_image002[34]

Uma aproximação muito boa.


Veja mais:

Retificação da Circunferência Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5
Divisão de um Seguimentos em Partes Iguais
Aproximação de π Como Soma de Dois Números Irracionais

7 comentários:

  1. Olá, Kleber!!!!

    Quer dizer que aí... a medida de "ouro", a medida real... não será encontrada!!!! Mas, eu fico mesmo agradecido por você ter ensinado tão bem, como devemos atingir, pelo menos, a medida de "prata"!!!! KKKKKKKKKKKKK!!!!!!!!!! Garanto que não está entendendo nada, não é???? Rsrsrsrs!!!! É brincadeira!!!! É porque... Ag é o símbolo químico da prata e, o segmento AG obtido ali naquela construção me fez lembrar o precioso metal!!!!

    Parabéns, pela excelente postagem, parceiro e, eu fico imaginando... quanto o Wilhelm Otto Ludwing Specht, deve ter queimado de fosfato no cérebr,o para conseguir chegar a essa interessante e elegante construção geométrica!!!!

    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Educador Kleber, Felicidades!

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  3. Olá querido seja bem vindo aos multiplicadores, excelente conteúdo no seu blog, já estou seguindo .Aguardo sua visita http://proaiseartedeeducar.blogspot.com.br
    Uma ótima semana!

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  4. Boa tarde Kleber!!!
    Realmente você ama Matemática.
    Tenho plena em matemática, mas fiz pós em educação infantil e optei por trabalhar apenas com os pequenos.
    Se me fizer perguntas difíceis sobre matemática, vou ter que pesquisar para lhe responder. (risos) Já tenho uns dez anos de formada. #fato.
    Seja sempre bem vindo no meu cantinho.
    Espero nos vermos mais vezes...
    Vim através do blog: Educadores Multiplicadores.
    Abraços da Bia!!!

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  5. Olá Kleber!Sou dos Educadores Multiplicadores.
    Seja bem vindo!
    Que paixão você tem pela matemática.Parabéns.
    Um abraço.
    Valdete Cantú

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  6. Olá, cheguei aqui através dos Educadores Multiplicadores.
    Parabéns pelo blog. Admiro muito os professores de Matemática, pois acho um grande desafio.

    Professora Genis
    http://www.reciclandocomamamae.com/
    http://redeeducacaoemfoco.blogspot.com.br/

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  7. Bom dia Kleber!!!
    Obrigada por seguir meu blog. Seja sempre muito bem vindo. Espero nos vermos mais vezes...
    Tenha uma semana feliz e abençoada.
    Abraços...da Bia!!!

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