23 de fev de 2013

Algumas Observações Sobre a Notação de Derivada

No Cálculo, notações diferentes para a derivada é um fato e cada uma delas é de uso comum e as utilizamos conforme as circunstâncias em que os símbolos estão sendo usados. Então o que nos importa quais símbolos utilizamos se todos servem para o mesma coisa? Essa é uma questão de grande importância. Pois boas notações podem suavizar o caminho e realizar boa parte de nosso trabalho, enquanto notações ruins imobilizam, sendo quase impossível uma movimentação fácil.

A derivada de uma função $f(x)$ pode ser denotada por $f \prime (x)$:

$\displaystyle f^ \prime (x)=\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $

Essa notação tem o mérito de enfatizar que a derivada $f(x)$ é uma outra função de $x$ que está associada de certa maneira com a função dada. Se a função é dada na forma $y=f(x)$, com a variável dependente explícita, então o símbolo $y^\prime$ é utilizado no lugar de $f^\prime (x)$.

A principal desvantagem da notação prima $ \left (^\prime \right )$ para derivadas é que ela não sugere a natureza do processo pelo qual $f^\prime (x)$ foi obtida de $f(x)$, A notação de Leibniz é melhor nesse aspecto bem como em outros.

Para explicar a notação de Leibniz, começamos com uma função $y=f(x)$ e escrevemos o quociente de diferenças

$\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

na forma

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Onde $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$. Aqui $\Delta y$ não é simplesmente uma mudança qualquer em $y$; ela é a mudança específica que resulta quando a variável independente muda de $x$ para $x+\Delta x$. O quociente de diferenças $\Delta y / \Delta x$ pode ser interpretado como a razão da variação de $y$ pela variação de $x$ ao longo de uma curva $y=f(x)$, que representada o declive da secante.


[Figura 1]

Leibniz escreveu o limite desse quociente de diferenças, que naturalmente é a derivada $f^\prime (x)$, na forma $dy/dx$ (Leia “$dy$” sobre “$dx$” ou simplesmente “$dy,dx$”). Nesta notação, a definição de derivada assume a forma:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \qquad (1)$

e este é o coeficiente angular (declive) da tangente na figura 1. Outras duas formas equivalentes um pouco diferentes de $dy/dx$ são:

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx}$    e    $\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)$

O símbolo $d/dx$ pode ser lido como “a derivada em relação a $x$ de ...”, qualquer que seja a função $x$ que siga.

Devemos compreender que $dy/dx$ dado em (1) é um símbolo individual e não um quociente entre duas quantidades, porque $dy$ e $dx$ não foram definidas e não tem existência independente.

Na notação de Leibniz, a formação do limite à direita de (1) é simbolicamente expressa substituindo a letra $\Delta$ pela letra $d$. Desse ponto de vista, o símbolo $dy/dx$ para a derivada tem a vantagem psicológica de nos fazer lembrar rapidamente de todo o processo de se formar o quociente de diferenças $\Delta y/\Delta x$ e calcular seu limite quando $\Delta \rightarrow 0$. A vantagem prática da notação de Leibniz é que para certas fórmulas fundamentais são mais fáceis de serem lembradas.

Mas por melhor que seja esta notação, não é perfeita. Suponha que queiramos escrever o valor numérico da derivada num ponto específico, como por exemplo 1. Como a notação $dy/dx$ não mostra a variável $x$ de maneira conveniente, como acontece quando usamos a notação $f^\prime (x)$, como forçados a usar uma notação desajeitada, como:

$\displaystyle \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=1}$    ou    $\displaystyle \frac{dy}{dx}\mid _{x=1}$

O símbolo ideal para esta representação é $f^\prime (1)$.

Cada notação é boa à sua maneira, dependendo do contexto na qual está inserida. Todas são amplamente utilizadas na Matemática e nas Ciências adjacentes.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons - Editora McGraw Hill


Veja mais:

Os Mitos Leibzinianos a Respeito das Curvas Diferenciais
Leibniz e as Diferenciais
Curvas Contínuas Sem Derivadas

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7 comentários:

  1. Excelente texto professor. Ótimo para refrescar a memória sobre os fundamentos da derivada de uma função. Existe no contexto da física o uso do símbolo $\dot{x}$ para a derivada da coordenada x, o que é similar ao símbolo $x^{'}$.
    Parabéns.

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  2. Olá Caro João Elias, obrigado pelo comentário. É verdade. O uso do ponto sobre o x foi usado por Newton em suas fluxões.

    É interessante textos como este que trazem uma abordagem menos técnica e mais conceitual. Assim é possível entender um pouco mais sobre o assunto.

    Eu havia lhe enviado um e-mail que encontrei em sua página, mas não tive resposta. Gostaria de tirar algumas dúvidas sobre o uso do MathJax, se possível, entre em contato comigo:

    kleberkilhian@gmail.com

    Obrigado e um abraço!

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  3. Oi, Kleber

    Descobri um processo de EXTRAIR (literalmente no sentido de extração de dente) a reta tangente em um ponto.

    Não, não fiquei doido kkk. Isto faz parte de minhas experiências no geogebra.

    Peguei a função f(x)=x^2 e calculei a equação da reta tangente à sua curva no ponto (3,9), por exemplo. (y-9)(x-3)=f'(3)=2.3=6 no que resultou y-6x+9=0.

    Depois fiz o gráfico da relação (y-x^2)(y-6x+9)=0. É claro que o gráfico é simultaneamente a parábola com sua tangente no ponto (3,9).

    Então, peguei um parâmetro p diferente de zero e igualei

    (y-x^2)(y-6x+9)=p

    Se tiver curiosidade, monte este gráfico para p=1 e depois para p=-0.00001 (negativo)
    e veja o que acontece!

    Abraços






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  4. Que interessante sr. tangista! Rss... Olha só a imagem do link abaixo, plotei no Winplot:

    http://media.share.pho.to/1BR4a/f51d61cd_o.jpeg

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    Respostas
    1. Pois é, Kleber,

      Este processo é muito legal. Outro exemplo, se p=0, a equação

      (x^2+y^2-4)[(x-1)^2+y^2-4]=p

      fornece dois círculos de mesmo raios transladados.

      E se p for diferente de zero????

      Excluir
  5. Aloísio, que barato essas curvas! Pelo jeito andou brincando bastante. Muito legal. Veja esta imagem:

    http://media.share.pho.to/1BfZU/773fca48_o.jpeg

    Só para descontrair, veja esta curva:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=psy+curve

    Abraços!

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  6. Kleber, muito boa esta equação da figura humana, rs

    Sobre a equação (y-x^2)(y-6x+9)=p, rigorosamente falando, quando p diferente de zero, mesmo sendo infinitesimal positivo ou negativo, então não temos mais uma parábola e nem mais uma reta. Portanto, o termo reta tangente (extração) que utilizei não tem significado.

    Vou fazer mais experiências ( parece física, rs ) e calcular as leis de formação destas curvas exóticas formadas a partir de curvas conhecidas, para um futuro post.

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