24 de mai de 2014

Como Achar o Centro do Círculo, por Euclides

No livro $III$ dos Elementos, Proposição $1$, Euclides nos mostra como achar o centro de um círculo dado de maneira muito elementar e elegante.

Proposição $1$ do Livro $III$: Achar o centro do círculo dado.

Seja o círculo $C_1$. Tracemos através dele uma corda $\overline{AB}$ ao acaso. Tracemos sua mediatriz, marcando os pontos $C$, $D$ e $E$. O ponto médio do segmento $\overline{DE}$ é o centro $O$ do círculo $C_1$.

[Figura 1]

Para a demonstração, Euclides inicia com o absurdo de que um ponto genérico $G$ no interior do círculo seja seu centro.

Tracemos uma corda $\overline{AB}$ ao acaso e sua mediatriz, marcando os pontos $C$, $D$ e $E$. Tomemos o ponto genérico $G$ como centro. Se $G$ é o centro do círculo, então tracemos os segmentos $\overline{GA}$, $\overline{GC}$ e $\overline{GB}$.
[Figura 2]

Como $\overline{AC}$ é igual a $\overline{BC}$ e $\overline{GC}$ é comum aos triângulos $ACG$ e $BCG$, então os segmentos $\overline{AC}$ e $\overline{GC}$ são iguais aos segmentos $\overline{BC}$ e $\overline{GC}$, respectivamente.

Se $G$ é o centro do círculo, então $\overline{GA}=\overline{GB}$, pois são os raios do círculo. Portanto, o ângulo $A\hat{C}G$ é igual ao ângulo $B\hat{C}G$, que são retos, já que a mediatriz $\overline{DE}$ define ângulos retos com a corda $\overline{AB}$. Mas por construção, o ângulo $O\hat{C}B$ também é reto, assim como o ângulo $G\hat{C}B$. Mas $G\hat{C}B$ é menor que $O\hat{C}B$, o que torna impossível ser o ponto  $G$ o centro do círculo, exceto se este estiver sobre a mediatriz $\overline{DE}$. Assim, o ponto $O$ é o centro da círculo $C_1$.

Em outro artigo deste blog, sobre Como Encontrar o Centro de uma Circunferência, utilizamos $3$ pontos sobre uma circunferência $A$, $B$ e $C$ e traçamos as mediatrizes das cordas $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$. O ponto de encontro dessas mediatrizes define o centro $O$ da circunferência.

Vejam que esse método é essencialmente o método que Euclides utilizou em seu Elementos. Se fizermos coincidir os pontos $E$ com $B$, basta construirmos as mediatrizes das cordas $\overline{AB}$ e $\overline{BD}$. A intersecção cairá sobre o centro $O$ do círculo.

Referências:

[1] Os Elementos - Euclides - Tradução de Irineu Bicudo - Ed. Unesp

Vejam mais: 

Como Encontrar o Centro de uma Circunferência
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
Algoritmo de Euclides para Determinação do MDC

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