11 de abr de 2015

Resolução da integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos.



Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x) dx
\end{equation}
Temos um produto de senos que pode ser transformado em uma subtração de cossenos fazendo uso da seguinte identidade trigonométrica:
\begin{equation}
\text{sen}(a)\text{sen}(b) = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=5x$ e $b=3x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2} \int \left[\cos(5x-3x) - \cos(5x+3x)\right]dx\\
I = \frac{1}{2} \int \left[\cos(2x) - \cos(8x)\right] dx
\end{gather}
Integrando membro a membro:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \cos(2x)dx - \frac{1}{2}\int \cos(8x)dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(2x)$, usamos a substituição $u=2x$. Assim, $du=2dx$ e $\displaystyle dx =\frac{1}{2}du$. E para o integrando $\cos(8x)$, usamos a substituição $v=8x$. Assim, $dv=8dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{8}dv$:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \int \cos(u)du - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \int \cos(v)dv\\
I = \frac{1}{4} \int \cos(u)du - \frac{1}{16} \int \cos(v)dv
\end{gather}
A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$, assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{4} \text{sen}(u) - \frac{1}{16}\text{sen}(v) + C\\
I = \frac{1}{4} \text{sen}(2x) - \frac{1}{16} \text{sen}(8x) +C\\
I = \frac{1}{16} \left(4~\text{sen}(2x) - \text{sen}(8x)\right) + C
\end{gather}

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\text{sen}(3x)\text{sen}(5x)$ no intervalo $[0,\pi/4]$



A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi/4} \text{sen}(3x)\text{sen}(5x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{4}\text{sen}(2x)-\frac{1}{16}\text{sen}(8x)\right]_0^{\pi/4}\\
I = \left[\frac{1}{4}\text{sen}\left(\frac{2\pi}{4}\right) - \frac{1}{16}\text{sen}\left(\frac{8\pi}{4}\right)\right] - \left[\frac{1}{4}\text{sen}(0) - \frac{1}{16}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{4}\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{16}\text{sen}\left(2\pi\right)\\
I = \frac{1}{4}\cdot 1 - \frac{1}{16}\cdot 0\\
I = \frac{1}{4} = 0,25
\end{equation*}

Fórmula geral:

Percebi uma forma geral que esta integral em particular se apresenta. Carece de demonstração, mas funcionou para todos os valores que testei.

Se tivermos uma integral do tipo:
\begin{equation}
I= \int \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)dx
\end{equation}
A solução será dada por:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(b-a)}\text{sen}\left((b-a)x\right) - \frac{1}{2(b+a)}\text{sen}\left((b+a)\right)
\end{equation}
Vejamos alguns exemplos:
\begin{align*}
1)~I &= \int \text{sen}(4x) \text{sen}(5x)\\
&= \frac{1}{2(5-4)} \text{sen}((5-4)x) - \frac{1}{2(5+4)} \text{sen}((5+4)x)\\
&= \frac{1}{2}\text{sen}(x)-\frac{1}{18}\text{sen}(9x)
\end{align*}

\begin{align*}
2)~I &= \int \text{sen}(12x) \text{sen}(13x)\\
 &= \frac{1}{2(13-12)} \text{sen}((13-12)x) - \frac{1}{2(13+12)} \text{sen}((13+12)x)\\
&= \frac{1}{2}\text{sen}(x)-\frac{1}{50}\text{sen}(25x)
\end{align*}

\begin{align*}
3)~I &= \int \text{sen}(15x) \text{sen}(27x)\\
 &= \frac{1}{2(27-15)} \text{sen}((27-15)x) - \frac{1}{2(27+15)} \text{sen}((27+15)x)\\
&= \frac{1}{24}\text{sen}(12x)-\frac{1}{84}\text{sen}(42x)
\end{align*}

Veja mais:

Resolução da integral $\int \cos(x)\cos(2x)dx$
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries

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Um comentário:

  1. Parabéns pelo blog: sempre que posso dou uma olhada nas postagens. Gosto muito de ver esses tipos de resoluções...

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