O problema da arrumação das bolas em forma de quadrado

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Certo dia um colega do departamento, no qual trabalhamos, apresentou-me um problema que ele havia criado, mas ficou com uma dúvida após resolver alguns exemplos.

O problema

Se $n$ bolas são arrumadas em forma de um quadrado, pergunta-se: quantas bolas devem ser tiradas, do quadrado, de tal modo que arrumando as bolas restantes seja possível formar um novo quadrado?

Resolução de alguns exemplos formulados pelo colega

Um quadrado formado com $9$ bolas, tirando $5$ bolas restam $4$ (um quadrado);  um quadrado formado com $16$ bolas, tirando $12$ bolas restam $4$ (um quadrado) ou tirando $7$ bolas restam $9$ (um quadrado); um quadrado formado com $25$ bolas, tirando $21$ bolas restam $4$ bolas (um quadrado) ou tirando $16$ bolas restam $9$ (um quadrado) ou tirando $9$ bolas restam $16$ (um quadrado); um quadrado formado com $36$ bolas, tirando $32$ bolas restam $4$ (um quadrado) ou tirando $27$ bolas restam $9$ (um quadrado) ou tirando $20$ bolas restam $16$ (um quadrado) ou retirando $21$ bolas restam $25$ (um quadrado). E assim por diante.

A dúvida do colega

Disse o colega: "Eu testei todos os quadrados, de lado maior que $6$ e menor que $100$, formados com bolas, mas nenhum desses quadrados – tirando $6, 10, 14, \cdots$ (ou seja, um número de bolas da forma $4n + 6$) – com as bolas restantes não foi possível arrumá-las para formar um novo quadrado".

Diante do exposto, o colega me perguntou: "professor, por que o número de bolas, da forma $4n + 6$, tirado de um quadrado formado de bolas, com as bolas restantes não é possível formar um novo quadrado?" Vejamos por quê.

Sejam $x^2$ o quadrado formado de bolas; $n$ o número de bolas tirado do quadrado e $y^2$ o quadrado formado com as bolas restantes.

Tirando $n$ bolas de $x^2$ a diferença $x^2 – n$ tem de ser um quadrado, ou seja, $x^2 – n = y^2$.

Se $x^2 – n = y^2$, então, $x^2 – y^2 = n$. Portanto, a fim de que a diferença $x^2 – n$ seja um quadrado, $n$ tem de ser escrito como diferença de dois quadrados, ou seja, $n = x^2 – y^2$.

O teorema abaixo foi extraído de um livro de teoria dos números.

Teorema $1$

Um número inteiro $n$ pode ser escrito como a diferença de dois quadrados de inteiros, $n = x^2 – y^2$, se e somente se $n$ é ímpar ou múltiplo de $4$.

Demonstração dada no mesmo livro

Uma forma direta de obter a representação de $n$ como diferença de dois quadrados é a seguinte:

Se $n$ é múltiplo de $4$:
$$\begin{equation*} n = 4k = (k+1)^2 - (k-1)^2 \end{equation*}$$
Se $n$ é ímpar:
$$\begin{equation*} n = 2k+1 = (k+1)^2 - k^2 \end{equation*}$$

Teorema de Sebá $1$

Todo número ímpar $I$, maior que a unidade, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros: $I = x^2 – y^2$, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações:
$$\begin{equation} x=\frac{I+k^2}{2k} \end{equation}$$
e
$$\begin{equation} y = x-k,\quad (y>1) \end{equation}$$
onde $k$ são os divisores de $I$, tal que $1\leq k^2 < I$.

Demonstração

Como $I = x^2-y^2$, logo:
$$\begin{equation*} x+y = \frac{I}{x-y} \end{equation*}$$
Como $x$ e $y$ são inteiros, logo, $x-y$ são os divisores de $I$.

Se $x-y=k$, então:
$$\begin{equation*} x+y=\frac{I}{k} \end{equation*}$$
Temos o seguinte sistema de equações:
$$\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x & - & y & = & k\\ x & + & y & = &\displaystyle \frac{I}{k} \end{matrix}\right. \end{equation*}$$
Resolvendo-o, obtem-se:
$$\begin{equation*} x = \frac{I+k^2}{2k} \quad \text{e} \quad y=x-k \end{equation*}$$
Note que, se $k^2 \geq I$, implica $x-k \leq 0$. Logo, $1 \leq k^2 <I$.

Exemplo $1$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $121 = x^2 - y^2$?

O divisor de $121$, tal que $1 \leq k^2 <121$ é $1$. Logo, pode-se escrever $121 = x^2-y^2$ de uma única maneira.

Para $k=1$ e $I=121$, fazemos:
$$\begin{equation*} x=\frac{121+1^2}{2\cdot 1}=61 \end{equation*}$$
e
$$\begin{equation*} y=61-1=60 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 121 = x^2 - y^2 = 61^2 - 60^2 = 3721 - 3600 = 121 \end{equation*}$$
Caso escolhêssemos $k=11$, teríamos $k^2 = 11^2  = 121 = I$ e obter-se-ia:
$$\begin{equation*} x = \frac{121 + 11^2}{2 \cdot 11} = 11 \end{equation*}$$
e
$$\begin{equation*} y = 11 - 11 = 0 \end{equation*}$$

Exemplo $2$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever o primo $13 = x^2 - y^2$?

O divisor de $13$, tal que $1 \leq k^2 <13$ é $1$. Logo, pode-se escrever $13 = x^2 - y^2$ de uma única maneira como diferença de dois quadrados.

Para $k=1$ e $I=13$, fazemos:
$$\begin{equation*} x = \frac{13 + 1^2}{2 \cdot 1} = 7 \end{equation*}$$
e
$$\begin{equation*} y = 7 - 1 = 6 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 13 = x^2 - y^2 = 7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13 \end{equation*}$$

Exemplo $3$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $117 = x^2 - y^2$?

Os divisores de $117$, tal que $1 \leq k^2 < 117$, são $1$, $3$ e $9$. Logo, temos três maneiras diferentes de escrever $117$ como diferenças de dois quadrados.

Modo $1$: Para $k=1$ e $I = 117$

$$\begin{equation*} x = \frac{117 + 1^2}{2 \cdot 1} = 59 \quad \text{e} \quad y=59-1 = 58 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 117 = 59^2 - 58^2 = 3481 - 3364 \end{equation*}$$

Modo $2$: Para $k=3$ e $I=117$

$$\begin{equation*} x = \frac{117 + 3^2}{2 \cdot 3} = 21 \quad \text{e} \quad y = 21-3 - 18 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 117 = 21^2 - 18^2 = 441 - 324 \end{equation*}$$

Modo $3$: Para $k=9$ e $I=117$

$$\begin{equation*} x = \frac{117 + 9^2}{2 \cdot 9} = 11 \quad \text{e} \quad y = 11-9=2 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 117 = 11^2 - 2^2 \end{equation*}$$
Caso escolhêssemos $k=13$, teríamos $k^2 = 13^2 = 169 >117$ e obterse-ia:
$$\begin{equation*} x = \frac{117 + 13^2}{2 \cdot 13} = 11 \quad \text{e} \quad y=11-13 = -2 \ \text{(negativo)} \end{equation*}$$
Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se $n$ é ímpar:
$$\begin{equation*} n = 2k + 1 = (k+1)^2 - k^2 \end{equation*}$$
Se $n=117$, $k=58$, logo:
$$\begin{equation*} 117 = (58+1)^2 - 58^2 = 59^2 - 58^2 \end{equation*}$$

Conclusão

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, $117$ só poderia ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo Teorema de Sebá, o número $117$ pode ser escrito de três maneiras diferentes como diferença de dois quadrados:
$$\begin{equation*} 117 = 11^2-2^2 = 21^2-18^2 = 59^2-58^2 \end{equation*}$$

Teorema de Sebá $2$

Todo número par $P > 4$, múltiplo de $4$, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros, $P=x^2-y^2$, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações seguintes:
$$\begin{equation} x=\frac{P+k^2}{2k} \end{equation}$$
e
$$\begin{equation} y=x-k \end{equation}$$
onde $k$ são os divisores de $P$, sendo $k \neq 2n+1$, $2 \leq k^2<P$ e $2k$ tem que dividir $P$.

Demonstração

Como $P=x^2-y^2$, temos que:
$$\begin{equation*} x+y = \frac{P}{x-y} \end{equation*}$$
Como $x$ e $y$ são inteiros, logo $x-y$ são divisores de $P$.

Se $x-y=k$, então:
$$\begin{equation*} x+y=\frac{P}{k} \end{equation*}$$
Temos o seguinte sistema de equações:
$$\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x & - & y & = & k\\ x & + & y & = &\displaystyle \frac{P}{k} \end{matrix}\right. \end{equation*}$$
Resolvendo-o obtém-se:
$$\begin{equation*} x = \frac{P+k^2}{2k} \quad \text{e} \quad y=x-k \end{equation*}$$
Note que se $k^2 \geq P$, implica $x-y \leq 0$, logo, $2 \leq k^2 <P$.

Se $k=2n+1$, $P+k^2$ será ímpar, consequentemente $2k$ (par) não divide $P+k^2$ (ímpar).

Exemplo $4$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $16 = x^2-y^2$?

O divisor de $16$, tal que $2 \leq k^2 <16$ é $2$.

Para $k=2$ e $P=16$, temos:
$$\begin{equation*} x = \frac{16 + 2^2}{2\cdot 2} = 5 \quad \text{e} \quad y=5-2 = 3 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 16 = 5^2 - 3^2 = 25-9 \end{equation*}$$
Caso escolhêssemos $k=4$, teríamos $k^2 = 4^2 = 16 = P$ e obter-se-ia:
$$\begin{equation*} x = \frac{16 + 4^2}{2 \cdot 4} = 16 \quad \text{e} \quad y = 16-16=0 \end{equation*}$$

Exemplo $5$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $32=x^2-y^2$?

Os divisores de $32$, tal que $2 \leq k^2 < 32$, são: $2$ e $4$. Logo, $32$ pode ser escrito como diferença de dois quadrados de duas maneiras diferentes.

Para $k=2$ e $P=32$, tem-se:
$$\begin{equation*} x = \frac{32+2^2}{2 \cdot 2} = 9 \quad \text{e} \quad y = 9-2 = 7 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 32 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49 \end{equation*}$$
Para $k=4$ e $P=32$, tem-se:
$$\begin{equation*} x = \frac{32 + 4^2}{2 \cdot 4} = 6 \quad \text{e} \quad y = 6-4 = 2 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 32 = 6^2 - 2^2 = 36 -4 \end{equation*}$$
Caso escolhêssemos $k=8$ (um dos divisores de $32$, teríamos $k^2 = 8^2 = 64 >P$ e obter-se-ia:
$$\begin{equation*} x = \frac{32+8^2}{2 \cdot 8} = 6 \quad \text{e} \quad y=6-8 = -2 \ \text{(negativo)} \end{equation*}$$
E pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se $n$ é par:
$$\begin{equation*} n = 4k = (k+1)^2 - (k-1)^2 \end{equation*}$$
Para $n = 32$, $k=8$, logo:
$$\begin{equation*} 32 = (8+1)^2 - (8-1)^2 = 9^2 - 7^2 \end{equation*}$$

Conclusão

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, $32$ só pode ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo teorema de Sebá, $32$ pode ser escrito de duas maneiras diferentes como uma diferença de dois quadrados:
$$\begin{equation*} 32 = 6^2-2^2 = 9^2 - 7^2 \end{equation*}$$
Agora, voltando à pergunta inicial do colega: "professor, por que o número de bolas, da forma $4n+6$, tirado de um quadrado formado de bolas, com as bolas restantes nõa é possível formar um novo quadrado?"

A resposta é: Porque o número de bolas da forma $4n + 6$ não é múltiplo de $4$ e, consequentemente, nenhum número da forma $4n+6$ pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros.

Exemplo $6$

Quantas bolas deve ter um quadrado, a fim de que sejam tiradas $5$ bolas e com o restantes seja possível fazer um novo quadrado?

Resolução: Devemos encontrar $x$ e $y$ tais que: $5 = x^2-y^2$.

O divisor de $5$, tal que $1 \leq k^2 < 5$ é $1$. Como $k=1$, logo:
$$\begin{equation*} x = \frac{5 + 1^2}{2 \cdot 1} = 3 \quad \text{e} \quad y = 3-1=2 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 5 = 3^2-2^2$ \quad \text{ou} \quad 9-5=4 \end{equation*}$$
Resposta: Um quadrado com $9$ bolas, tirando $5$ bolas, restam $4$.

Exemplo $7$

Quantas bolas deve ter um quadrado, a fim de que sejam tiradas $15$ bolas e com as restantes seja possível fazer um novo quadrado?

Resolução: Devemos encontrar $x$ e $y$ tais que: $15 = x^2 - y^2$.

Os divisores de $15$, tais que $1 \leq k^2 < 15$ são $1$ e $3$. Logo, $k=1$ e $3$.

Para $k=1$:
$$\begin{equation*} x = \frac{15+1^2}{2 \cdot 1} = 8 \quad \text{e} \quad y = 8-1=7 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 15 = 8^2 - 7^2 \quad \text{ou} \quad 64-15=49 \end{equation*}$$
Para $k=3$:
$$\begin{equation*} x=\frac{15+3^2}{2\cdot 3}=4 \quad \text{e} \quad y=4-3=1 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 15 = 4^2-1^2 \quad \text{ou} \quad 4-3-1 \end{equation*}$$
O número $1$ é um quadrado, mas não é possível formar um quadrado com apenas uma bola.

Resposta: Um quadrado de $64$ bolas, tirando $15$ bolas, restam $49$ bolas.

Exemplo $8$

Quantas bolas deve ter uma quadrado, a fim de que sejam tiradas $99$ bolas e com as restantes seja possível fazer um quadrado?

Resolução: Devemos encontrar $x$ e $y$ tais que: $99=x^2-y^2$.

Os divisores de $99$, tais que $1 \leq k^2 <99$, são $1$, $3$ e $9$. Logo, $k=1$, $3$ e $9$.

Para $k=1$:
$$\begin{equation*} x=\frac{99+1^2}{2\cdot 1} = 50 \quad \text{e} \quad y=50-1=49 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 99 = 50^2-49^2 \quad \text{ou} \quad 2500-99=2401 \end{equation*}$$
Para $k=3$:
$$\begin{equation*} x=\frac{99+3^2}{2\cdot 3} = 18 \quad \text{e} \quad y = 18-3=15 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 99=18^2-15^2 \quad \text{ou} \quad 324-99=225 \end{equation*}$$
Para $k=9$:
$$\begin{equation*} x=\frac{99+9^2}{2\cdot 9}=10 \quad \text{e} \quad y=10-9=1 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} 99=10^2-1^2 \quad \text{ou} \quad 100-99=1 \end{equation*}$$
O número $1$ é um quadrado, mas não é possível formar um quadrado com apenas uma bola.

Resposta: Um quadrado com $2500$ bolas, tirando $99$ bolas restam, $2401$ bolas; ou um quadrado de $324$ bolas,retirando $99$ bolas, restam $225$ bolas.

Um terno pitagórico $(a,b,c)$ também resolve o problema das bolas, haja vista que se $a^2+b^2=c^2$, então, $c^2-a^2=b^2$ ou $c^2-b^2=a^2$.

Exemplo $9$

Se o terno pitagórico for $(a,b,c)=(5,12,13)$, então: $13^2=5^2+12^2$.

Como $13^2-5^2=12^2$ e $13^2-12^2=5^2$, logo, um quadrado com $169$ bolas, retirando-se $25$ bolas, ficam $144$ bolas; ou um quadrado com $169$ bolas, retirando-se $144$ bolas, ficam $25$ bolas.

* Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

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