Resolução de integrais literais

Nesta página veremos resoluções de integrais literais. A maioria delas são encontradas em tábuas de integrais.

Integrais de funções racionais

$1)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{a-bx}\ dx = -\frac{\ln \left|a-bx \right|}{b}+C $

$2)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left( \frac{x}{a} \right)+C$

$3)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C$

$4)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ dx = x \pm 2\ \ln \left| x \mp 1\right|  +C$

$5)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = \frac{2\ \text{arctg} \left( \displaystyle \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right)} {\sqrt{4ac-b^2}}+C $

$6)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \left(ax+b \right)^n\ dx = \frac{\left(ax+b \right)^{n+1}}{a\left(n+1\right)}+C$

$7)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ \ln\left|ax+b \right|+C$

$8)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}\ dx = x +\ln|1-x| - \ln|x+1|+C$

$9)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{x}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a^2}\left(ax-b\ \ln|ax+b| \right)+C$

$10)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{x^2}{a+bx}\ dx = \frac{2a^2\ln|a+bx| - bx(2a-bx)}{2b^3} + C$


Integrais de funções exponenciais

$11)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a}+C$

$12)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int ax\ e^{bx}\ dx = \frac{a}{b^2} \ e^{bx}(bx-1) + C$

$13)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{a\ e^{bx}}\ dx = -\frac{e^{-bx}}{ab} + C$


Integrais de funções logarítmicas


$14)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \ln (ax)\ dx = x\ \ln|ax| - x + C$

$15)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \ln(a^x)\ dx = \frac{\ln ^2|a^x|}{2\ \ln(a)}+C$

$16)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \ln (ax+b)\ dx = \left(x+\frac{b}{a}\right) \ln |ax+b| - x + C$

$17)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int x \ln(x)\ dx = \frac{x^2}{4} (2 \ln|x| - 1)+C$

$18)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \ln^2(x)\ dx= x(\ln^2|x| -2\ln|x|+2)+C$

$19)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \ln\left(e^x\right)\ dx = -\frac{1}{2} \left(x-2 \ln\left|e^x\right| \right)+C$

$20)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{x\ \ln(x)}\ dx = \ln\left| \ln(x)\right|+C$


Integrais de funções trigonométricas

$21)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{sen}(ax)\ dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$

$22)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int\cos(ax)\ dx = \frac{\text{sen}(ax)}{a} + C$

$23)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int\text{sen}^2 (ax)\ dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C$

$24)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int\cos^2(ax)\ dx = \frac{x}{2}+\frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C$

$25)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int ax\ \text{sen}(bx)\ dx = \frac{a}{b^2}\left[\text{sen}(bx)-bx\ \cos(bx)\right]+ C$

$26)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int ax \cos(bx)\ dx =  \frac{a}{b^2}\left[\cos(bx) + bx\ \text{sen}(bx)\right] + C$

$27)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)\ dx = \frac{\text{sen}\left[(a-b)x\right]}{2(a-b)} - \frac{\text{sen}\left[(a+b)x\right]}{2(a+b)} + C$

$28)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \cos(ax) \cos(bx)\ dx = \frac{\text{sen}\left[(a-b)x\right]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}\left[(a+b)x\right]}{2(a+b)} +C$

$29)$  Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln\left| \sec(ax)+\text{tg}(ax)\right|}{a} + C$

$30)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{tg}(ax)\ dx = -\frac{\ln\left| \cos(ax)\right|}{a} + C$

$31)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{cotg}(ax)\ dx = \frac{\ln\left|\text{sen}(ax)\right|}{a} + C$

$32)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{cossec}(ax)\ dx = - \frac{\ln\left|\text{cossec}(ax)+\text{cotg}(ax)\right|}{a} + C$

$33)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \sec^2(ax)\ dx = \frac{\text{tg}(ax)}{a} + C$


Integrais de funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas inversas são as inversas das funções trigonométricas, chamadas de função arco, pois retornam o arco correspondente a certa função trigonométrica. Podem ser representadas como:


$34)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{sen}^{-1}(ax)\ dx = \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a} +\text{sen}^{-1}(ax)+ C$

$35)$  Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \cos^{-1}(ax)\ dx = x\ \cos^{-1}(ax) - \frac{\sqrt{1 - a^2x^2}}{a} + C$

$36)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \text{tg}^{-1}(ax)\ dx = x\ \text{tg}^{-1}(ax) - \frac{\ln\left| a^2x^2+1\right|}{2a} + C$

$37)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int ax\ \text{sen}^{-1}(bx)\ dx = \frac{a}{4b^2} \left[ bx \sqrt{1-b^2x^2}+(2b^2x^2-1)\text{sen}^{-1}(bx) \right]+C$

$38)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int ax\ \cos^{-1}(bx)\ dx =  \frac{a \left[-bx\sqrt{1-b^2x^2}+2b^2x^2 \cos^{-1}(bx)+\text{sen}^{-1}(bx) \right]}{4b^2}+C$

$39)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int ax\ \text{tg}^{-1}(bx)\ dx = \frac{a}{2b^2} \left[(b^2x^2+1)\text{tg}^{-1}(bx) - bx \right] + C$


Integrais de funções irracionais

$40)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \sqrt{x}\ dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$

$41)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \sqrt{a-x}\ dx = -\frac{2}{3}\sqrt{(a-x)^3} + C$

$42)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \sqrt{a^2+ x^2}\ dx = \frac{1}{2}\left[ x\ \sqrt{a^2+x^2} + a^2 \ln \left| x+\sqrt{a^2+x^2}\ \right|  \right] + C$

$43)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

$\quad \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a+x}}\ dx = 2\sqrt{a+x} + C$

$44)$ Clique aqui e veja a resolução da integral:

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