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Resolução de integrais literais

Nesta página temos resoluções de integrais literais. A maioria delas são encontradas em tabelas de integrais. Para ver a resolução completa, clique no link de cada integral que uma nova página será aberta com o passo-a-passo da resolução. A maioria delas contém um ou mais exemplos para que se possa ter um maior entendimento.

Leia também sobre os métodos de integração:

1. Integrais de funções racionais

$\displaystyle \int \frac{1}{a-bx}\ dx = -\frac{\ln \left|a-bx \right|}{b}+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left( \frac{x}{a} \right)+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C$

$\displaystyle \int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ dx = x \pm 2\ \ln \left| x \mp 1\right|+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = \frac{2\ \text{arctg} \left( \displaystyle \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right)} {\sqrt{4ac-b^2}}+C$

$\displaystyle \int \left(ax+b \right)^n\ dx = \frac{\left(ax+b \right)^{n+1}}{a\left(n+1\right)}+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ \ln\left|ax+b \right|+C$

$\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}\ dx = x +\ln|1-x| - \ln|x+1|+C$

$\displaystyle \int \frac{x}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a^2}\left(ax-b\ \ln|ax+b| \right)+C$

$\displaystyle \int \frac{x^2}{a+bx}\ dx = \frac{2a^2\ln|a+bx| - bx(2a-bx)}{2b^3} + C$

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2. Integrais de funções exponenciais

$\displaystyle \int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a}+C$

$\displaystyle \int ax\ e^{bx}\ dx = \frac{a}{b^2} \ e^{bx}(bx-1) + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{a\ e^{bx}}\ dx = -\frac{e^{-bx}}{ab} + C$

$\displaystyle \int e^x \text{sen}(x)\ dx = \frac{1}{2}e^x \big(\text{sen}(x)-\cos(x)\big)+C$

3. Integrais de funções logarítmicas

$\displaystyle \int \ln (ax)\ dx = x\ \ln|ax| - x + C$

$\displaystyle \int \ln (ax+b)\ dx = \left(x+\frac{b}{a}\right) \ln |ax+b| - x + C$

$\displaystyle \int x \ln(x)\ dx = \frac{x^2}{4} (2 \ln|x| - 1)+C$

$\displaystyle \int \ln^2(x)\ dx= x(\ln^2|x| -2\ln|x|+2)+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x\ \ln(x)}\ dx = \ln\left| \ln(x)\right|+C$

4. Integrais de funções trigonométricas

$\displaystyle \int \text{sen}(ax)\ dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$

$\displaystyle \int\cos(ax)\ dx = \frac{\text{sen}(ax)}{a} + C$

$\displaystyle \int\text{sen}^2 (ax)\ dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C$

$\displaystyle \int\cos^2(ax)\ dx = \frac{x}{2}+\frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C$

$\displaystyle \int ax\ \text{sen}(bx)\ dx = \frac{a}{b^2}\left[\text{sen}(bx)-bx\ \cos(bx)\right]+ C$

$\displaystyle \int ax \cos(bx)\ dx = \frac{a}{b^2}\left[\cos(bx) + bx\ \text{sen}(bx)\right] + C$

$\displaystyle \int \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)\ dx = \frac{\text{sen}\left[(a-b)x\right]}{2(a-b)} - \frac{\text{sen}\left[(a+b)x\right]}{2(a+b)} + C$

$\displaystyle \int \cos(ax) \cos(bx)\ dx = \frac{\text{sen}\left[(a-b)x\right]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}\left[(a+b)x\right]}{2(a+b)} +C$

$\displaystyle \int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln\left| \sec(ax)+\text{tg}(ax)\right|}{a} + C$

$\displaystyle \int \text{tg}(ax)\ dx = -\frac{\ln\left| \cos(ax)\right|}{a} + C$

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$\displaystyle \int \text{cotg}(ax)\ dx = \frac{\ln\left|\text{sen}(ax)\right|}{a} + C$

$\displaystyle \int \text{cossec}(x)\ dx = -\ln |\text{cotg}(x) + \text{cossec}(x)| + C$

$\displaystyle \int \sec^2(ax)\ dx = \frac{\text{tg}(ax)}{a} + C$

$\displaystyle \int \text{sen}(x) \cos(x)\ dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{\text{sen}^2(x)}{2}+C_1\\ \ \\ \displaystyle -\frac{\cos^2(x)}{2}+C_2 \end{cases}$

5. Integrais de funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas inversas são as inversas das funções trigonométricas, chamadas de função arco, pois retornam o arco correspondente a certa função trigonométrica. Podem ser representadas como:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \bf \text{Nome da função} & \bf\text{Notação 1} & \bf\text{Notação 2}\\ \hline \text{arco seno} & y=\text{sen}^{-1}(x) & y=\text{arc sen}(x)\\ \hline \text{arco cosseno} & y=\cos^{-1}(x) & y=\text{arc cos}(x)\\ \hline \text{arco tangente} & y=\text{tg}^{-1}(x) & y=\text{arc tg}(x)\\ \hline \end{array}$

$\displaystyle \int \text{arc sen}(ax)\ dx = \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a} +x\ \text{arc sen}(ax)+ C$

$\displaystyle \int \text{arc cos}(ax)\ dx = x\ \text{arc cos}(ax) - \frac{\sqrt{1 - a^2x^2}}{a} + C$

$\displaystyle \int \text{arc tg}(ax)\ dx = x\ \text{arc tg}(ax) - \frac{\ln\left| a^2x^2+1\right|}{2a} + C$

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$\displaystyle \int ax\ \text{arc sen}(bx)\ dx = \frac{a}{4b^2} \left[ bx \sqrt{1-b^2x^2}+(2b^2x^2-1)\text{arc sen}(bx) \right]+C$

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$\displaystyle \int ax\ \text{arc cos}(bx)\ dx = \frac{a \left[-bx\sqrt{1-b^2x^2}+2b^2x^2 \text{arc cos}(bx)+\text{sen}^{-1}(bx) \right]}{4b^2}+C$

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$\displaystyle \int ax\ \text{arc tg}(bx)\ dx = \frac{a}{2b^2} \left[(b^2x^2+1)\text{arc tg}(bx) - bx \right] + C$

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6. Integrais de funções irracionais

$\displaystyle \int \sqrt{x}\ dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$

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$\displaystyle \int \sqrt{a-x}\ dx = -\frac{2}{3}\sqrt{(a-x)^3} + C$

$\displaystyle \int \sqrt{a^2+ x^2}\ dx = \frac{1}{2}\left[ x\ \sqrt{a^2+x^2} + a^2 \ln \left| x+\sqrt{a^2+x^2}\ \right| \right] + C$

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$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{ax+b}}\ dx = \frac{2\sqrt{ax+b}}{a} + C$

7. Fórmulas de redução

$\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx = -\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx$

$\displaystyle \int \text{cos}^n(x)\ dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x) \text{sen}(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\ dx$

$\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx = \frac{\text{tg}^{n-1}(x)}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx$

$\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx = -\frac{1}{n-1} \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \text{cossec}^{n-2}(x)\ dx$

$\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx = \frac{1}{n-1}\text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}(x) + \frac{n-2}{n-1}\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx$

$\displaystyle \int \text{cotg}^n(x)\ dx = -\frac{1}{n-1}\ \text{cotg}^{n-1}(x) - \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx$

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