Os Pontos de Brocard (Parte 3)

Vimos na primeira postagem desta série sobre os Pontos de Brocard as definições e suas construções geométricas. Na segunda postagem, vimos algumas propriedades importantes, teoremas e corolários. Nesta terceira parte, veremos outros teoremas igualmente interessantes.

Por:

Kleber Kilhian

Paulo Sérgio C. Lino

Teorema $3$: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos, $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$ existe o ângulo $\omega$ de modo que vale a relação:

$$\cot (\omega)=\frac{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}{4\Delta}$$
onde $\Delta$ é a área do triângulo $(T)=A_1A_2A_3$.

Demonstração: Note que:
$$\begin{equation} \Delta=\frac{1}{2} a_2a_3 \text{sen}(\alpha_1) \end{equation}$$

Pela lei dos cossenos, temos que:
$$\begin{equation} \begin{matrix} a_1^2 = a_2 ^2+a_3 ^2-2a_2 a_3 \cos (\alpha_1) \Rightarrow\\  a_2a_3 \cos(\alpha_1) = a_2^2 + a_3^2 - a_1^2\\ \end{matrix} \end{equation}$$
De $(1)$ e $(2)$, temos que:
$$4\cot(\alpha_1)=\frac{2a_2a_3\cos(\alpha_1)}{\frac{1}{2}a_2a_3\text{sen}(\alpha_1)}=\frac{a_2^2+a_3^2-a_1^2}{\Delta}$$ $$\begin{equation} \cot(\alpha_1)=\frac{-a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta} \end{equation}$$
Por simetria, temos:
$$\begin{equation} \cot(\alpha_2)=\frac{a_1^2-a_2^2+a_3^3}{4\Delta} \end{equation}$$
e
$$\begin{equation} \cot(\alpha_3)=\frac{a_1^2+a_2^2-a_3^2}{4\Delta} \end{equation}$$
Substituindo as $(3)$, $(4)$ e $(5)$ na equação:
$$\cot (\omega)=\cot (\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot (\alpha_3)$$
(para maiores detalhes veja a parte $2$ sobre os pontos de Brocard), segue que:
$$\cot(\omega)=\frac{\left (-a_1^2+a_2^2+a_3^2 \right)+\left (a_1^2-a_2^2+a_3^2 \right )+\left (a_1^2+a_2^2-a_3^2 \right )}{4\Delta}$$
$$\begin{equation} \cot(\omega)=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{4\Delta} \end{equation}$$

Teorema $4$: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ e lados opostos $a_1$, $a_2$ e $a_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ tal que:

$$0 \leq \omega \leq \frac{\pi}{6}$$

Demonstração: Já vimos na postagem anterior que:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}{\text{sen}(\alpha_1) \cdot \text{sen}(\omega)}=\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)$$
Substituindo $\omega$ por $-\omega$, obtemos:
$$\begin{matrix} \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\alpha_1) \cdot \text{sen}(-\omega)}=\frac{\cos (-\omega)}{\text{sen}(-\omega)}-\cot(\alpha_1)\\ -\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=-\frac{\cos(\omega)}{\text{sen}(\omega)}-\cot(\alpha_1)\\ \\\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1)\cot(\omega)+\cos(\alpha_1)\\ \end{matrix}$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1)\left [ \cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3) \right ]+\cos(\alpha_1)$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\cos(\alpha_1)+\text{sen}(\alpha_1)\frac{\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\text{sen}(\alpha_1)\frac{\cos(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_3)}+\cos(\alpha_1)$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_2)\cos(\alpha_1)+\text{sen}(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_1)\cos(\alpha_3)+\text{sen}(\alpha_3)\cos(\alpha_1)}{\text{sen}(\alpha_3)}$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}$$
Mas, $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\pi$, de modo que:
$$\begin{equation} \text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)=\text{sen}(\pi-\alpha_3)=\text{sen}(\alpha_3) \end{equation}$$
e
$$\text{sen}(\alpha_1+\alpha_3)=\text{sen}(\pi-\alpha_2)=\text{sen}(\alpha_2)$$
Assim:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{\text{sen}(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}$$
Pela lei dos senos no triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, sabemos que:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_2)}{a_2}=\frac{\text{sen}(\alpha_3)}{a_3}\Rightarrow \frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_3)}=\frac{a_2}{a_3}$$
e pela desigualdade aritmética-geométrica, segue que:
$$\begin{matrix} \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=\frac{a_3}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}\\ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)}=2\cdot \frac{\frac{a_3}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}}{2}\\ \frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)} \geq \sqrt{\frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_2}{a_3}}=2\\ \end{matrix}$$
Isto mostra que:
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1+\omega)}{\text{sen}(\omega)} \geq 2$$
e a igualdade é válida se e somente se $a_2=a_3$. Consequentemente:
$$\begin{matrix} 2\text{sen}(\omega) \leq \text{sen}(\alpha_1+\omega) \leq 1\Rightarrow\\ 0 < \text{sen}(\omega) \leq \frac{1}{2} \Rightarrow\\ 0 < \omega \leq \frac{\pi}{6}\\ \end{matrix}$$ e $\omega = \dfrac{\pi}{6}$ se e somente se $(T)$ for triângulo equilátero.

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Veja mais: 

Os Pontos de Brocard (Parte $1$)
Os Pontos de Brocard (Parte $2$) 
Pontos Notáveis de um Triângulo
Desigualdade Aritmética-Geométrica no blog Fatos Matemáticos

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